Как перевести градусы в радианы и обратно онлайн: сколько градусов в радиане, формула перевода

Онлайн калькулятор для перевода градусов в радианы и перевода радиан в градусы, минуты и секунды.

Калькулятор онлайн выполняет перевод градусов в радианы, перевевод радиан в градусы, перевод дробных градусов (градусы представленные десятичной дробью) в вид градусов, минут и секунд и выводит формулы с подробным решением.

Перевести градусы в радианы: градусы необходимо умножить на π/180. Если градусы заданы в виде “градусов, минут и секунд”, то вначале их необходимо перевести в десятичную форму по формуле: градусы + минуты/60 + секунды/3600;

Формула перевода радиан в градусы: если угол равен αrad радиан, то он равен формула перевода радиан в градусы градусов, где π ≈ 3,1415.

Перевести радианы в градусы: радианы необходимо умножить на 180/π. Целая часть полученного произведения — это количество градусов. Чтобы перевести дробную часть в минуты, необходимо ее умножить на 60. Целая часть полученного произведения — количество минут. Для вычисления секунд необходимо снова умножить дробную часть от предыдущей операции на 60, округлить полученное произведение до ближайшего целого — это количество секунд.

Формула перевода градусов в радианы: если угол равен αdeg радиан, то он равен формула перевода градусы в радианы радиан, где π ≈ 3,1415.

  • Перевод градусов, минут и секунд в радианы

    Перевод радиан в градусы, минуты и секунды

    Дано:Решение:
    α°deg = градусов

    перевод градусов в радианы

    α’deg = минут
    α”deg = секунд
    αrad = радиан

    перевод радиан в градусы, минуты и секунды

    Перевод десятичных градусов в вид градусов, минут и секунд

    αdeg = градусов

    перевод десятичных градусов в вид градусов, минут и секунд

    выделение из десятичных градусов градусов, минут и секунд

    перевод десятичных градусов в вид градусов, минут и секунд

    округление до знаков после запятой

    Помощь на развитие проекта CAE-CUBE.ru

    Уважаемый Посетитель сайта.
    Если Вам не удалось найти, то что Вы искали – обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
    Если же сайт оказался Ваме полезен – подари проекту CAE-CUBE.ru всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

    Спасибо, что не прошели мимо!

    I. Примечание:

    1. Округление результатов расчета выполняется до указанного количества знаков после запятой (по умолчанию – округление до десятитысячных).

    II. Для справки:

    1. Градусна мера угла — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 градус и показывающая сколько раз градус и его части (минута и секунда) укладывается в данном угле.
    2. Радианная мера угла — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан и показывающая сколько раз радиан укладывается в данном угле.
    3. Градусы и радианы — единицы измерения плоских углов в геометрии.

  • Один градус равен 1/180 части развернутого угла.
  • Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу.
  • Номограмма для перевода радиан в градусы и градусов в радианы.

    Как перевести градусы в радианы: формулы перевода

    С давних времён люди измеряют углы. Но что такое угол? Геометрия даёт нам ответ: «Угол — это два луча, проведённые из заданной точки». Углы бывают разные: тупые, острые, прямые, развёрнутые, центральные, смежные. Возьмём точку O и проведём из неё луч O. A. Теперь из этой же точки проведём луч OB, параллельный лучу OA и направленный с ним в одну сторону. Про такие лучи говорят, что угол между ними составляет 0° (ноль градусов). Если мы теперь направим луч OB параллельно лучу OA, но в противоположную сторону, то получим развёрнутый угол, равный 180°.

    • Что означают градус и радиан
    • Как перевести градусы в радианы и обратно
    • Примеры решения задач
    • Минуты и секунды

    Что означают градус и радиан

    Так вот, мерой расхождения двух лучей, проведённых из одной точки друг от друга, будет градусное расстояние. Что такое градус? В переводе «градус» означает «шаг». Всего таких «шагов» может быть 360°. Это число было придумано ещё в глубокой древности математиками и астрономами, пользовавшимися шестидесятиричной системой счисления. Они брали круг, из центра которого проводили два радиуса. Мерой расхождения этих радиусов друг от друга был градус. Когда расстояние между радиусами в градусах отсчитывали против часовой стрелки, такой угол считался положительным, а когда против часовой — отрицательным.

    Это интересно: умножение на 0 правило для любого числа.

    Вращая один радиус относительно другого против часовой стрелки, мы будем получать разные углы. Когда эти отрезки совпадают, то между ними будет 0°, когда же отрезки отсекают сектор круга, равный одной четверти полного круга, то угол между ними составит 90°. Вращая дальше таким образом, мы получим следующие углы: 180° — радиусы лежат на диаметре круга и делят его пополам, 270° — радиусы отсекают три четверти круга, 360° — радиусы совпадают. Таким образом, полный круг составляет 360°. Для измерения углов существует транспортир.

    Кроме градусной меры для измерения углов применяют меру радианную. Радиан — это мера центрального угла. «Радиан» означает «связанный с радиусом». Если из центра окружности радиусом R провести два луча, то они на ней отсекут дугу, длина которой l. Так вот, угол α между указанными лучами называется центральным. Чтобы его измерить, нужно длину дуги окружности разделить на её радиус: α=l/R. Получится значение, выраженное в радианах (рад). Поскольку любому углу на плоскости можно сопоставить такой же центральный угол, то встаёт вопрос, как от обычной градусной меры перейти к радианной.

    Это интересно: признак перпендикулярности прямой и плоскости, теория и практика.

    Как перевести градусы в радианы и обратно

    Мы знаем, что центральному углу в 360° соответствует вся окружность, длина которой вычисляется по известной формуле l=2•π•R. Разделим это выражение на R и получим: α= 2•π•R/R=2•π рад≈6,28 рад. Если взять какое-то угловое расстояние в A град., то его радианная мера α получится из пропорции: А/360°=α/(2•π). Решив это уравнение, получим формулу перевода градусов в радианы — α=(π/180°)•А, или формулу перевода радиан в градусы — А=(180°/π)•α. Из этих формул мы придём к следующим соотношениям:

    Сколько составит 180 градусов в радианах и 90 градусов в радианах? Воспользовавшись полученными выше формулами, придём к таким соотношениям:

    Итак, как правильно переводить градусную меру в радианную и обратно? В этом вам поможет следующее правило:

    Чтобы найти число радиан, нужно градусную меру умножить на число π и поделить на 180. Чтобы найти число градусов, нужно радианную меру умножить на 180 и поделить на число π.

    Примеры решения задач

    Задача 1. Чему равна длина дуги окружности, если R=1 см, α=1 рад?

    Решение. По формуле длины дуги найдём: l=R•α=1•1=1 см.

    Задача 2. Сколько рад в 45°?

    Решение. Используя правило, получим: α=45•π/180=π/4 рад.

    Задача 3. Сколько град. в π² рад?

    Решение. Используя правило, найдём: А=π²•180/π=180π град.≈565,5°.

    Задача 4. Чему равен средний угловой размер лунного диска, если среднее расстояние до Луны равно R=384399 км, а диаметр самой Луны D=3476 км?

    Решение. Если мысленно на Луну с Земли провести два луча, которые пройдут через крайние точки диаметра её диска, мы получим центральный угол, исходящий из глаз наблюдателя. Поскольку расстояние до Луны намного превышает её диаметр, то этот диаметр можно будет приравнять длине дуги l окружности, образуемой радиусом R, т. е. D≈l=α•R. Тогда искомый угловой размер составит: α≈D/R=3476/384399=0,00904268742 рад=0,51810782462°≈3105≈0,5°. Итак, видимый угловой диаметр Луны равен полградуса.

    Это интересно: что такое разность в математике?

    Минуты и секунды

    Издревле для измерения углов пользовались так называемой шестидесятиричной системой исчисления. В этой системе вся окружность делится на 360°. Затем каждый градус делят на 60 минут, а каждую минуту — на 60 секунд. Минуты обозначаются значком «’, а секунды — значком «. Отсюда пошло измерение времени. Кроме того, циферблат — это символ круга, а стрелки часов отмеряют центральные углы. Для перевода этих единиц используйте следующие соотношения:

    Как перевести градусы в радианы и обратно онлайн: сколько градусов в радиане, формула перевода

    Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно “не очень. ”
    И для тех, кто “очень даже. ” )

    В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом “Пи”, которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да.

    Стандартные задания по тригонометрии с числом “Пи” решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона – валит наповал! Чтобы не свалиться – понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле – всё поймём!

    Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла. Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии – никуда.

    Градусная мера угла.

    К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили. Да и в жизни частенько встречаемся с фразой “повернул на 180 градусов”, например. Градус, короче, штука простая.

    Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то.

    Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было. Веков 40 назад. И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус – это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее. Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

    Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак. Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно. Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя. В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926. раз.

    Это и есть число “Пи”. Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой – бесконечное число цифр без всякого порядка. Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

    Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

    Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в “Пи” раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

    Где L – длина окружности, а d – её диаметр.

    В геометрии пригодится.

    Для общего образования добавлю, что число “Пи” сидит не только в геометрии. В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

    Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь. Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие – 360? И в каком варианте этих делителей нацело – больше? Людям такое деление очень удобно. Но.

    Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся. Высшая математика – дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: “Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245. И что мне делать? Нет уж. ” Пришлось послушаться. Природу не обманешь.

    Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь – радиан!

    Радианная мера угла.

    Что такое радиан? В основе определения радиана – всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L) равна длине радиуса (R). Смотрим картинки.

    Будем считать, что этот малюсенький угол имеет величину 1 градус:

    Маленький такой угол, почти и нет его. Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан. L = R

    Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

    Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

    А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

    Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

    Да! Этот хвостик – 0,1415926. Здравствуй, число “Пи”, мы тебя ещё не забыли!

    Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926. радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926. неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

    А вот в Интернете число

    писать неудобно. Поэтому я в тексте пишу его по имени – “Пи”. Не запутаетесь, поди.

    Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

    Или точное равенство:

    Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула – это тоже уравнение!) на 3,14:

    Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

    Но главное умение этой темы – перевод градусов в радианы и обратно.

    Если угол задан в радианах с числом “Пи”, всё очень просто. Мы знаем, что “Пи” радиан = 180°. Вот и подставляем вместо “Пи” радиан – 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле “Пи”/2 радиан? Вот и пишем:

    Или, более экзотическое выражение:

    Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

    Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = “Пи” радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула – это тоже уравнение!) на 180. Представлять “Пи” как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:

    Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

    Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы – это очень просто. Да и перевод без проблем. И “Пи” – вполне терпимая штука. Так откуда путаница!?

    Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов – пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов. А значок радианов (рад) – не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что. Но решили не писать. Если внутри синуса – котангенса нет никаких значков, то угол – в радианах! Например, cos3 – это косинус трёх радианов.

    Это и приводит к непоняткам. Человек видит “Пи” и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры – стандартные. Но “Пи” – это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это “Пи” радиан = 180°!

    Ещё раз: “Пи” – это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно “Пи” шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить “Пи” килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся.

    “Пи” – это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?

    Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать.

    Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: “Пи” – это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол – в градусах! Стало быть, заменять “Пи” на 180° – нельзя! “Пи” градусов – это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

    Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там – радианы! Вот здесь замена “Пи” на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

    Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05°.

    Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

    Потренируемся в обращении с мерами угла.

    Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

    360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

    У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

    Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

    Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси. Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут. И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются. Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге – сплошь и рядом.

    Во второй строчке – тоже углы специальные. Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо – ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных – именно про эти углы вы должны знать всё. И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° – уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего. Но об этом подробнее – в следующем уроке.

    А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

    У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

    210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

    Получилось? Тогда можно считать, что перевод градусов в радианы и обратно – уже не ваша проблема.) Но перевод углов – это первый шаг к постижению тригонометрии. Там же ещё с синусами-косинусами работать надо. Да и с тангенсами, котангенсами тоже.

    Второй мощный шаг – это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да. ) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:

    1. В какую четверть попадают углы:

    45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

    2. В какую четверть попадают углы:

    402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

    Тоже без проблем? Ну, смотрите. )

    3. Сможете разместить по четвертям углы:

    Смогли? Ну вы даёте..)

    4. На какие оси попадёт уголок:

    5. В какую четверть попадают углы:

    И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю. )

    6. Определить, в какую четверть попадают углы:

    1, 2, 3 и 20 радианов.

    Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

    Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

    Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

    Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами – можете не посещать 555. Не настаиваю.)

    Хорошее понимание – достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)

    Если Вам нравится этот сайт.

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся – с интересом!)

    А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

    Что такое один градус? Что такое один радиан? Перевод радианов в градусы и обратно.

    В прошлый раз мы с вами ответили на первый вопрос, касаемый работы с углами. А именно – как отсчитываются углы. Рассмотрели положительные и отрицательные углы, а также углы, большие 360 градусов. И на круге углы порисовали.)

    В этом же уроке настал черёд ответить на второй вопрос, связанный с измерением углов. Здесь мы разберёмся с загадочными радианами и особенно – с пресловутым числом “пи”, которое будет мозолить нам глаза на протяжении всего дальнейшего изучения тригонометрии. Поймём, что это за число, откуда оно берётся и как с ним работать. И задания порешаем, само собой. Стандартные и не очень…)

    Разберёмся? Ну сколько же можно бояться числа “пи”, в конце-то концов!)

    Итак, в чём же измеряются углы в математике? Начнём с привычного и знакомого. С градусов.

    Что такое один градус? Градусная мера угла.

    К градусам вы уже попривыкли. Геометрию изучаете, да и в жизни постоянно сталкиваетесь. Например, “повернул на 90 градусов”.) Короче, градус – штука простая и понятная.

    Вы и вправду так думаете? Тогда сможете сказать мне, что такое градус? Нет, гуглить и потрошить Википедию не надо. Ну как, слабо с ходу? Вот так-то…

    Начнём издалека. С древнейших времён. А именно – с двух очагов древних цивилизаций Вавилона и Египта.)

    Градус – это 1/360 часть окружности. И всё!

    Придумали градусы в Древнем Вавилоне.) Как? Очень просто! Просто взяли да разбили окружность на 360 равных кусочков. Почему именно на 360? А не на 100 или на 1000? Вроде бы, число 100 поровнее, чем 360… Вопрос хороший.

    Основная версия – астрономическая. Ведь число 360 очень близко к числу дней в году! А для наблюдений за Солнцем, Луной и звёздами это было оч-чень удобно.)

    Кроме того, в астрономии (а также строительстве, землемерии и прочих смежных областях) очень удобно делить окружность на равные части. А теперь давайте прикинем чисто математически, на какие числа делится нацело 100 и на какие – 360? И в каком из вариантов этих делителей нацело больше? А людям такое деление очень удобно, да…)

    Что такое число “пи”? Как оно возникло?

    А теперь переместимся из Древнего Вавилона в Древний Египет. Примерно в то же самое время там разгадывали другую загадку. Не менее интересную, чем вопрос, на сколько частей бить окружность. А именно – во сколько раз длина окружности больше её диаметра? Или по-другому: чему равна длина окружности с диаметром, равным единице?

    И так измеряли и сяк… Каждый раз получалось чуть-чуть больше трёх. Но как-то коряво получалось, неровно…

    Но они, египтяне, ни в чём не виноваты. После них математики всех мастей продолжали мучиться аж до 18 века! Пока в 1767 году окончательно не доказали, что, как бы мелко ни нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков сложить точно длину диаметра нельзя. Принципиально нельзя. Только лишь примерно.

    Нет, конечно же, во сколько раз длина окружности больше её диаметра установили давным-давно. Но, опять же, примерно… В 3,141592653… раза.

    Это число – и есть число “пи” собственной персоной.) Да уж… Корявое так корявое… После запятой – бесконечное число цифр безо всякого порядка, безо всякой логики. В математике такие числа называются иррациональными. И на сегодняшний день доказательство факта иррациональности числа “пи” занимает аж десять (!) лекций на 4-м курсе мехмата МГУ… Этот факт, кстати, и означает, что из одинаковых кусочков окружности её диаметр точно не сложить. Никак. И никогда…

    Конечно, рациональные приближения числа “пи” известны людям ещё со времён Архимеда. Например:

    22/7 = 3,14285714…

    377/120 = 3,14166667…

    355/113 = 3,14159292…

    Сейчас, в век суперкомпьютеров, погоня за десятичными знаками числа “пи” не стихает, и на сегодняшний день человечеству известно уже два квадриллиона (!) знаков этого числа…

    Но нам для практического применения такая сверхточность совершенно не требуется. Чаще всего достаточно запомнить всего лишь две цифры после запятой.

    Вот и всё. Раз уж нам ясно, что длина окружности больше её диаметра в “пи” раз, то можно записать (и запомнить) точную формулу для длины окружности:

    Здесь L – длина окружности, а d – её диаметр.

    В геометрии всяко пригодится.)

    Для общего развития скажу, что число “пи” сидит не только в геометрии или тригонометрии. Оно возникает в самых различных разделах высшей математики. В интегралах, например. Или в теории вероятностей. Или в теории комплексных чисел, а также рядов. Само по себе возникает, хотим мы того или нет… Поступите в ВУЗ – убедитесь лично.)

    Ну а теперь снова вернёмся к старым добрым градусам. Как мы помним, один градус – это 1/360 часть окружности. С исторической и практической точек зрения людям такое деление на 360 равных частей оказалось очень даже удобно, но…

    Как выяснилось гораздо позже Древнего Вавилона, градусы удобны далеко не всем. Например, высшей математике они ой как неудобны! Высшая математика – дама серьёзная. По законам природы устроена. И она справедливо заявляет: “Сегодня вы на 360 частей круг разбили, завтра – на 100 разобьёте, послезавтра – на 250… А мне что делать? Каждый раз под ваши хотелки подстраиваться?”

    Против природы не попрёшь… Пришлось прислушаться и уступить. И ввести новую меру угла, не зависящую от наших хотелок. )

    Итак, знакомьтесь – радиан!

    Что такое один радиан? Радианная мера угла.

    В основе определения радиана – та же самая окружность. Угол в 1 радиан – это угол, который отсекает от окружности дугу, длина которой (L) равна радиусу окружности (R). И всё!

    Причём величина угла в один радиан не зависит от радиуса окружности! Никак. Можно нарисовать очень большую окружность, можно очень маленькую. Но угол, отсекающий от окружности дугу, равную радиусу, никогда не изменит своей величины и будет составлять ровно один радиан. Всегда. Это важно.)

    Запоминаем:

    Угол в один радиан – это угол, вырезающий из окружности дугу, равную радиусу окружности. Величина угла в 1 радиан не зависит от радиуса окружности.

    Кстати говоря, градусная мера угла тоже не зависит от радиуса окружности. Большая окружность, маленькая – углу в один градус без разницы. Но градус – это величина, искусственно придуманная людьми для их личного удобства! Древними вавилонянами, если мы помним.) 1/360 часть окружности. Так уж сложилось чисто исторически. А если бы по каким-то причинам договорились на 100 частей разбить окружность? Или на 200? Кто знает, что тогда называлось бы градусом сегодня… Вот на сколько частей разобьём окружность, такой “градус” и получим. А вот радиан – штука универсальная!) К способу разбиения окружности никак не привязан. Строго дуга, равная радиусу! И чем больше радиус, тем больше (по длине) будет и соответствующая вырезаемая дуга. И наоборот. Но сама величина угла в один радиан не меняется. И разбиение окружности (любой!) радианами – всегда одинаковое. И сейчас мы в этом лично убедимся.)

    Как переводить радианы в градусы и обратно?

    К этому моменту вам уже должно быть интуитивно понятно, что один радиан существенно больше одного градуса. Всё-таки непонятно? Тогда смотрим снова на картинку:

    Будем считать, что малюсенький красный угол имеет величину примерно один градус. Совсем крохотный уголок, почти и нет его… А большой зелёный угол – примерно один радиан! Чувствуете разницу?) Конечно же, один радиан сильно больше одного градуса…

    А вот теперь начинается самое интересное! Вопрос: а во сколько раз один радиан больше одного градуса? Или сколько градусов в одном радиане? Сейчас выясним!)

    Смотрим на очередные картинки:

    На картинке слева изображён полукруг. Обычный развёрнутый угол величиной 180°. А вот на картинке справа – тот же самый полукруг, но нарезанный радианами! Видно, что в 180° помещается примерно три с хвостиком радиана.

    Вопрос на засыпку: как вы думаете, чему равен этот хвостик?)

    Да! Он равен 0,141592653… Привет, число “пи”, вот мы про тебя и вспомнили!)

    Стало быть, в 180° укладывается 3,141592653… радиан. Понятное дело, что каждый раз писать такое длинное число неудобно, поэтому пишут приближённо:

    Вот и всё. Вот и весь секрет тотального присутствия числа “пи” в тригонометрии. Эту простую формулку надо знать железно. Уловили?)

    Так сколько же градусов в одном радиане? Не вопрос! Если в “пи” радианах содержится 180 градусов, то сколько же тогда градусов сидит в одном радиане? Правильно, в “пи” раз меньше! То есть меньше примерно в 3,14 раза.

    Вот и делим обе части нашего соотношения на “пи” и получаем один радиан в градусах:

    Это приближённое равенство также очень полезно запомнить. В одном радиане примерно 60 градусов. Такой грубой оценки бывает вполне достаточно для ответа на очень многие каверзные вопросы, связанные с углами. Бывает и недостаточно, конечно. В своё время мы такие хитрые задачки рассмотрим.)

    Но это не самое главное применение этой формулы!) А самое главное – перевод радианов в градусы и обратно.

    Переводим радианы в градусы!

    Чаще всего углы в тригонометрии заданы в радианах с числом “пи”. Это – самая стандартная ситуация. Если угол задан в радианах с числом “пи”, то всё очень просто. Мы знаем, что “пи” радиан – это 180 градусов. Вот и подставляем вместо “пи” радиан – число 180. Сокращаем всё что сокращается и получаем угол в градусах.

    Или более мудрёный угол:

    Переводим градусы в радианы!

    Обратный перевод градусов в радианы чуть сложнее, но ненамного. Если угол задан в градусах, то сначала нам надо узнать, сколько составляет один градус в радианах. И умножить это значение на количество градусов.) И чему же равен 1° в радианах?

    Снова смотрим на нашу формулу и соображаем. Если 180° – это “пи” радиан, то 1° в 180 раз меньше. Вот и делим обе части формулы на 180! Получаем, что 1° в радианах равен:

    Вот и все дела. Умножаем дробь π /180 на количество градусов, сокращаем что сокращается и получаем угол в радианах. Например:

    Вот и всё. Заменять “пи” на примерно 3,14 никакой необходимости нет: его всегда буквой пишут. Что правда, то правда: нас же в заданиях обычно точный ответ интересует! А не приближённый.) Кстати, кому интересен приближённый ответ, посчитайте на калькуляторе. Получите примерно 0,628 и 2,356 радиана соответственно.

    Итак, в непринуждённой беседе с лирическими отступлениями мы узнали, что радианы – это очень даже просто, не больно и не страшно.) Да и перевод туда-обратно несложен. И “пи” – не кусается… Так откуда же проблемы?

    Что ж, вскрою тайну. Всё дело в том, что в тригонометрии значок градусов – пишется. Всегда и везде. Например, cos30° – это косинус 30 градусов! А вот значок радианов (“рад”) – не пишется! Он – подразумевается. В чём причина – неизвестно. Может, обленились математики, может ещё что… Но договорились не писать. Например, sin5 – это синус пяти радианов!

    Это и приводит к казусам. Человек смотрит на пример, видит “пи” и автоматически считает, что это 180°. Везде и всюду. Кстати, это срабатывает. До поры до времени, пока примеры – типовые. Но любое отклонение примера от шаблона – тут же валит наповал! Почему?

    Потому, что само по себе “пи” – это число! А никакие не градусы! Это “пи” радиан = 180°!

    Ещё раз запоминаем:

    Просто “пи” – это число! “Пи” РАДИАН – это 180°!

    Это заклинание надо понимать железно. Причём не просто механически зазубрить, а именно понимать каждое слово и каждый значок! И особенно – слово “радиан”. Я не шучу. Ибо, если на вопрос, Что такое “пи” в тригонометрии?”, вы, блистая знаниями, радостно заявляете:

    “Пи – это 180 градусов. “ ,

    то это говорит о том, что вы не понимаете до конца смысла этой зелёной фразы. И все дальнейшие беседы уже бессмысленны, да…

    Ещё раз: “пи” – это число! Примерно равное 3,14. Точного значения этого числа не знает никто: оно бесконечно длинное, корявое, иррациональное. Но – число! Такое же, как 2 или 7. Можно пройти примерно “пи” километров. Три километра и ещё около 140 метров. Можно купить “пи” килограммов картошки. Если продавец образованный встретится.) Можно выпить “пи” литров кока-колы. Если здоровье не жалко… И так далее…

    Всё равно непонятна зелёная запись? Хорошо, вот вам простые житейские фразы:

    1 километр – это 1000 метров;

    3 часа – это 180 минут;

    2 года – это 730 дней;

    И тому подобное. Точно так же и с градусами/радианами:

    “Пи” радиан – это 180 градусов!

    Уяснили, что “пи” – это просто число? Или я уже достал вас этой заезженной фразой? Ну ладно, убедили. Тогда вот вам парочка нестандартных вопросов:

    Если у вас случился ступор, не беда. Вспоминаем нашу мантру: “Пи” – это число! В первом синусе нам чётко сказано, что угол – в градусах! Следовательно, машинально заменять “пи” на 180° – нельзя. “Пи” градусов – это примерно 3,14°. Вот и пишем:

    Во втором синусе никаких значков нет. Значит, там – радианы. И вот тут замена “пи” на 180° – вполне законна.) Переводим радианы в градусы и получаем:

    А теперь сравниваем эти два синуса. Как? По кругу, разумеется! Рисовать углы мы с вами уже умеем, что такое синус угла на круге – тоже знаем. Вперёд! Рисуем круг, углы примерно 0,79 ° и 45° и смотрим какие синусы у этих углов. Даже на самом корявом круге будет видно, что sin45° гораздо больше, чем sin0,79°.

    С косинусами – всё то же самое. Рисуем на круге в правильных четвертях углы примерно 5 градусов и 5 радианов (помним, чему примерно равен один радиан в градусах?). Круг нам всё и подскажет. А именно, что cos5 меньше, чем cos.

    Вообще, задачки с углами в радианах без “пи” (типа определить знак выражения sin10∙cos20) относятся к разряду нестандартных. В следующем уроке разберём парочку таких.)

    Ну что, потренируемся с переводом углов?) Решаем несложные задания.

    1. Переведите следующие углы из градусной меры в радианную:

    Ответы (по возрастанию):

    Как вы думаете, что это были за углы? Да! Это углы, которые попадают на координатные оси! Эти опорные значения надо держать в голове надёжно. До автоматизма! Как в градусах, так и в радианах. Зачем? Да всё за тем же! Для правильного распределения любых углов по четвертям.) Это полезное умение – залог успеха в любом задании по тригонометрии. Любом! От примитивных примеров до вполне себе солидных ЕГЭшных задачек части 2 (уравнения с отбором корней, тригонометрические неравенства и прочие хитрые штучки).

    2. Переведите углы в радианную меру:

    Ответы (в беспорядке):

    Получилось? Рад за вас. Почему я выделил именно эти три угла? По той же самой причине. Эти углы – особые личности в тригонометрии. Потому что именно про эти углы вы обязаны знать всё! И где они находятся и весь комплект их тригонометрических функций. Скажем, значение sin20° вы знать не обязаны. А вот sin30° – уж будьте так добры! Это обязательные значения, без которых во всей остальной тригонометрии делать вообще нечего. Но об этом – в отдельном уроке.)

    Переведите следующие углы из радианной меры в градусную:

    Ответы (в беспорядке):

    300°; 225°; 120°; 330°; 240°; 135°; 210°; 315°; 150°.

    А это что за углы? Правильно! Это углы, в пределах одного оборота, кратные предыдущим трём! Но не попадающие на оси координат. Такие углы вы также обязаны уметь просчитывать! И более того, все углы, кратные 30, 45 или 60 градусам, вы обязаны уметь просчитывать! Как в пределах одного оборота, так и за его пределами. Как положительные, так и отрицательные… В соответствующем уроке мы научимся с вами проделывать такие полезные вещи.

    Если и это получилось, то тогда можно считать, что перевод радианов в градусы и обратно – уже не ваша проблема. Но перевод углов из одной размерности в другую – это лишь ещё один шаг вперёд к успешному постижению тригонометрии. Шаг мощный, но недостаточный. Ведь, чаще всего, с углами надо потом ещё и что-то делать.) Рисовать на круге, например. Или синус/косинус считать. Да и тангенс/котангенс тоже…

    Второй серьёзный шаг – это умение правильно определять положение любого угла на тригонометрическом круге. Любого! Как в градусах, так и в радианах. С градусами на круге мы уже плотно поработали в предыдущем уроке . Теперь настал черёд набивать руку в работе с радианами.

    Конвертер величин

    Перевести единицы: радиан [рад] в градус [°]

    Передача данных и теорема Котельникова

    Подробнее об углах

    Общие сведения

    Плоский угол — геометрическая фигура образованная двумя пересекающимися линиями. Плоский угол состоит из двух лучей с общим началом, и эта точка называется вершиной луча. Лучи называются сторонами угла. У углов много интересных свойств, например, сумма всех углов в параллелограмме — 360°, а в треугольнике — 180°.

    Виды углов

    Прямые углы равны 90°, острые — меньше 90°, а тупые — наоборот, больше 90°. Углы, равные 180° называются развернутыми, углы в 360° называются полными, а углы больше развернутых но меньше полных называются невыпуклыми. Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными. Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными, а если же до 360° — то сопряженными. В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними — внешними.

    Когда сумма двух углов равна 90°, то есть один угол дополняет другой до 90°, они называются дополнительными. Если они дополняют друг друга до 180°, они называются смежными, а если же до 360° — то сопряженными. В многоугольниках углы внутри многоугольника называются внутренними, а сопряженные с ними — внешними.

    Два угла, образованные при пересечении двух прямых и не являющихся смежными, называются вертикальными. Они равны.

    Измерение углов

    Углы измеряют с помощью транспортира или вычисляют по формуле, измерив стороны угла от вершины и до дуги, и длину дуги, которая эти стороны ограничивает. Углы обычно измеряют в радианах и градусах, хотя существуют и другие единицы.

    Можно измерять как углы, образованные между двумя прямыми, так и между кривыми линиями. Для измерения между кривыми используют касательные в точке пересечения кривых, то есть в вершине угла.

    Транспортир

    Транспортир — инструмент для измерения углов. Большинство транспортиров имеют форму полукруга или окружности и позволяют измерить углы до 180° и до 360° соответственно. В некоторых транспортирах встроена дополнительная вращающаяся линейка для удобства в измерении. Шкалы на транспортирах наносят чаще в градусах, хотя иногда они бывают и в радианах. Транспортиры чаще всего используют в школе на уроках геометрии, но их также применяют в архитектуре и в технике, в частности в инструментальном производстве.

    Использование углов в архитектуре и искусстве

    Художники, дизайнеры, мастера и архитекторы издавна используют углы для создания иллюзий, акцентов и других эффектов. Чередование острых и тупых углов или геометрические узоры из острых углов часто используются в архитектуре, мозаике и витражах, например в строении готических соборов и в исламской мозаике.

    Одна из известных форм исламского изобразительного искусства — украшение с помощью геометрического орнамента гирих. Этот рисунок применяют в мозаике, резьбе по металлу и дереву, на бумаге и на ткани. Рисунок создается с помощью чередования геометрических фигур. Традиционно используют пять фигур со строго определенными углами из комбинаций в 72°, 108°, 144° и 216°. Все эти углы делятся на 36°. Каждая фигура разделена линиями на несколько более маленьких симметричных фигур, чтобы создать более тонкий рисунок. Изначально гирихом назывались сами эти фигуры или кусочки для мозаики, отсюда и пошло название всего стиля. В Марокко существует похожий геометрический стиль мозаики, зулляйдж или зилидж. Форма терракотовых изразцов, из которых складывают эту мозаику, не соблюдается так строго, как в гирихе, и изразцы часто более причудливой формы, чем строгие геометрические фигуры в гирихе. Несмотря на это, мастера зулляйджа также используют углы для создания контрастных и причудливых узоров.

    В исламском изобразительном искусстве и архитектуре часто используется руб аль-хизб — символ в форме одного квадрата, наложенного на другой под углом в 45°, как на иллюстрациях. Он может быть изображен как сплошная фигура, или в виде линий — в этом случае этот символ называется звездой Al-Quds (аль кудс). Руб аль-хизб иногда украшают небольшими кругами на пересечении квадратов. Этот символ используют в гербах и на флагах мусульманских стран, например на гербе Узбекистана и на флаге Азербайджана. Основания самых высоких в мире на момент написания (весна 2013) башен близнецов, башен Петро́нас построены в форме руб аль-хизба. Эти башни находятся в Куала-Лумпуре в Малайзии и в их проектировании участвовал премьер-министр страны.

    Острые углы часто используют в архитектуре как декоративные элементы. Они придают зданию строгую элегантность. Тупые углы, наоборот, придают зданиям уютный вид. Так, например, мы восхищаемся готическими соборами и замками, но они выглядят немного печально и даже устрашающе. А вот дом себе мы скорее всего выберем с крышей с тупыми углами между скатами. Углы в архитектуре также используют для укрепления разных частей здания. Архитекторы проектируют форму, размер и угол наклона в зависимости от нагрузки на стены, нуждающиеся в укреплении. Этот принцип укрепления с помощью наклона использовали еще с древних времен. Например, античные строители научились строить арки без цемента и иных связующих материалов, укладывая камни под определенным углом.

    Обычно здания строят вертикально, но иногда бывают исключения. Некоторые здания специально строят с наклоном, а некоторые наклоняются из-за ошибок. Один из примеров наклонных зданий — Тадж-Махал в Индии. Четыре минарета, которые окружают главное строение, построены с наклоном от центра, чтобы в случае землетрясения они упали не вовнутрь, на мавзолей, а в другую сторону, и не повредили основное здание. Иногда здания строят под углом к земле в декоративных целях. Например, Падающая башня Абу-Даби или Capital Gate наклонена на 18° к западу. А одно из зданий в Мире Головоломок Стюарта Лэндсборо в городе Ванка в Новой Зеландии наклоняется к земле на 53°. Это здание так и называется, «Падающая башня».

    Иногда наклон здания — результат ошибки в проектировании, как например наклон Пизанской башни. Строители не учли структуру и качество почвы, на которой ее возводили. Башня должна была стоять прямо, но плохой фундамент не смог поддерживать ее вес и здание осело, покосившись на один бок. Башню много раз реставрировали; самая последняя реставрация в 20-м веке остановила ее постепенное оседание и увеличивающийся наклон. Ее удалось выровнять с 5.5°до 4°. Башня церкви СуурХусен в Германии тоже наклонена из-за того, что ее деревянный фундамент прогнил с одной стороны после осушения болотистой почвы, на которой она построена. На данный момент эта башня наклонена больше, чем Пизанская — примерно на 5°.

    Функции Excel для перевода из РАДИАНЫ в ГРАДУСЫ и обратно

    Функция РАДИАНЫ (на английском RADIANS) – это одна из математических и тригонометрических функций, которая часто применяется для инженерных расчетов. Данная функция в Excel легко преобразует градусы в радианы – угол, соответствующий дуге, а длина этой дуги равна ее радиусу.

    Как работает функция индекс в Excel?

    ПРИМЕР 1. Для инженерных расчетов связанных с движением по окружности зачастую необходимо вычислять угловые скорости и переводить градусы в радианы и радианы в градусы. В Excel для этого предусмотрены специальные функции. Для упрощения математических расчетов может потребоваться выразить в одной и второй величине.

    Нам необходимо найти сколько будет в Радианах 180°. Нажимаем кнопку fx возле строки формул для вызова окна выбора функций «Вставка функции» (SHIFT+F3) и в окне поиска вводим функцию «РАДИАНЫ». Выбираем высветившуюся нужную функцию, как показано на ниже рисунке.

    Появляется окно, в которое нужно ввести аргументы функции. Вводим значение 180, так как нам нужно найти сколько будет радиан в 180 градусах. Жмем ОК.

    В 180 градусах будет 3,1415 радиан.

    Найдем радианы для угла в 90°. Откроем окно функций и введем функцию, что необходимо вычислить. Находим ее в окне мастера функций и выбираем аргумент 90.

    ОК. В 90 градусах будет 1,5707 радиан.

    В следующих примерах рассмотрим, как конвертировать эти единицы измерения углов в обоих направлениях.

    Как перевести Радианы в Градусы средствами Excel

    ПРИМЕР 2. Иногда нужно единицу измерения углов rad перевести в значение gradus° . Для этого предусмотрена функция ГРАДУСЫ. Она позволяет перевести значения выраженные в радианах в градусы в десятичном исчислении.

    Нам нужно найти сколько будет в градусах 4,1 радианы. Нажимаем кнопку fx для вызова окна выбора функции и в окне поиска вводим соответствующее название функции.

    Появляется окно в которое нужно ввести аргументы функции. Вводим значение 4,1, так как нам следует найти сколько будет gradus° в 4,1 rad . Нажимаем ОК.

    Для исходного значения 4,1 получаем ровно 235 градусов.

    Таким образом выполняется перевод из радиан в градусы в Excel.

    Сколько радиан в нескольких значениях градуса?

    ПРИМЕР 3. Иногда нужно определить сколько радиан в сразу нескольких значениях градуса и вводить тогда каждый раз аргумент очень долго. В таком случае можно воспользоваться немного иным способом конвертирования величин для измерения углов.

    Требуется найти сколько будет в Радианах 45, 67, 23, 12, 57 градусов. Нажимаем кнопку fx (SHIFT+F3) для вызова окна выбора функции и в окне поиска вводим необходимо функцию как показано ниже на рисунке. Указываем на высветившуюся функцию.

    Выбираем диапазон градусов (А3 по А7) и нажимаем на кнопку ОК.

    Протягиваем строку вниз для того, чтобы мы могли узнать сколько радиан во всех приведенных градусах, не вызывая функцию по несколько раз.

    Получаем сразу значения всех радиан:

    Для 45 градусов – это 0,7853, для 67 градусов – это 1,1693, для 23 градусов – это 0,4014, для 12 градусов – это 0,2094, для 57 градусов – это 0,9948 в радианах.

    Читайте также:  Самые большие страны по численности населения, сколько жителей в России и мире
    Ссылка на основную публикацию