Как сформулировать и доказать утверждения о свойствах параллелограмма, теоремы о признаках данной фигуры

Параллелограмм. Свойства параллелограмма с доказательством

Определение. Параллелограмм – это четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Свойство 1 . Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Доказательство . По II признаку (накрест лежащие углы и общая сторона).

Свойство 2 . В параллелограмме противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Доказательство .
Аналогично,

Свойство 3. В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство .

Свойство 4 . Биссектриса угла параллелограмма, пересекая противоположную сторону, делит его на равнобедренный треугольник и трапецию. (Ч. сл. – вершину – два равнобедренных ?-ка).

Доказательство .

Свойство 5 . В параллелограмме отрезок с концами на противоположных сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам.

Доказательство .

Свойство 6 . Угол между высотами, опущенными из вершины тупого угла параллелограмма, равен острому углу параллелограмма.

Доказательство .

Свойство 7 . Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Доказательство .

Построение биссектрисы угла. Свойства биссектрисы угла треугольника.

1) Построить произвольный луч DE.

2) На данном луче построить произвольную окружность с центром в вершине и такую же
с центром в начале построенного луча.

3) F и G – точки пересечения окружности со сторонами данного угла, H – точка пересечения окружности с построенным лучом

Построить окружность с центром в точке H и радиусом, равным FG.

5) I – точка пересечения окружностей построенного луча.

6) Провести прямую через вершину и I.

IDH – требуемый угол.
(
)

Свойство 1 . Биссектриса угла треугольника разбивает противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам.

Доказательство . Пусть x, y-отрезки стороны c. Продолжим луч BC. На луче BC отложим от C отрезок CK, равный AC.





Свойство 2 . Биссектриса – ГМТ равноудалённых от прилежащих сторон треугольника.

Свойство 3 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка – центр вписанной окружности треугольника. (Из предыдущего свойства)

Свойство 4 . Биссектрисы делятся точкой пересечения в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей стороне, считая от вершины.

Доказательство . Рассмотрим треугольник CBC1:

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9739 – | 7577 – или читать все.

194.79.20.244 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Используемая литература

Атанасян, Л. С. «Геометрия» учебник для 7-9 кл. сред. шк.

Болтянский, В. Г. «Паркет из четырёхугольников».

Математика «Энциклопедия для детей»

Погорелов, А. В. «Геометрия» учебное пособие для 6 — 10 кл. сред. шк.

Сонин, А. С. «Постижение совершенства».

Плоскость легко замостить паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников .

Можно замостить плоскость и плитками другой формы, например уголками.

Но не всякие плитки годятся: скажем, правильными пятиугольниками замостить плоскость нельзя. Причина простая: трёх углов недостаёт, чтобы составить 360º, но четыре уже не поместятся.

Оказывается, что четырёхугольники годятся любые, даже и невыпуклые. Приложим к жёлтому четырёхугольнику ещё один такой же, получится невыпуклый шестиугольник. У этого шестиугольника противоположные стороны параллельны и равны, и можно сложить шестиугольники в полоску. Верхний и нижний края этой полоски одинаковы, и такими полосками можно выложить всю плоскость.

Все эти замощения периодичны: одна и та же конфигурация плиток повторяется в них со сдвигом.

Заметим, что правильный треугольник и квадрат допускают также и непериодические замощения, а правильный шестиугольник — нет.

Отразив вершину Е правильного пятиугольника ABCDE относительно диагонали AD , получим невыпуклый пятиугольник

копиями которого можно покрыть плоскость как периодически

так и непериодически.

Рассмотрим девятиугольник с равными сторонами и специально подобранными углами.

Из таких девятиугольников можно составить непериодическую спираль.

Продолжается она следующим образом. К очередной стороне предыдущего витка спирали прикладывается зелёными многоугольниками заполняется «перевёрнутыми» жёлтыми многоугольниками.

Есть и периодическое замощение плоскости теми же девятиугольниками.

Придумать многоугольник, который допускал бы только непериодические замощения, до сих пор никому не удалось.

Условия замещения плоскости

Плоскость можно разбить на одинаковые невыпуклые семиугольники.

Если плоскость разбита на выпуклые семиугольники, то среди них найдется либо сколь угодно маленький, либо сколь угодно большой.

Есть пример разбиения пространства на равные выпуклые 38-граники, но никто не знает, можно ли число 38 заменить большим.

Существует набор из трех выпуклых многоугольников, которым можно замостить плоскость бесконечным числом способов, но каждый из этих способов является непериодическим. При этом никто не знает, можно ли число 3 уменьшить – это открытая проблема. В пространстве задача решена- существует многогранник, которым можно замостить все пространство, но только непериодический.

Неизвестно, каким тетраэдрами можно замостить все пространство.

Есть 3 типа вы выпуклых шестиугольников и 14 типов выпуклых пятиугольников, которым можно замостить все плоскость.

Никто не знает, существует ли алгоритм, который получает на входе многоугольник, а на выходе говорит, можно ли этим многоугольником замостить всю плоскость.

Владимир Григорьевич Болтянский родился 26 апреля 1925 года в Москве. Советский математик, доктор физико-математических наук, член-корреспондент Российской академии образования. Широко известен своими трудами по методике преподавания математики и популярными книгами по математике. Лауреат Ленинской премии 1962 года. Основные работы относятся к комбинаторной геометрии, топологии и теории оптимального управления.

Читайте также:  Исток реки Миссисипи: где находится, длина, Миссури и иные притоки в бассейне

Шахи Зинда — памятник средневековой архитектуры в Самарканде, ансамбль мавзолеев самаркандской знати. Дошедший до нас комплекс состоит из одиннадцати мавзолеев, последовательно пристраивавшиеся друг к другу в течение XIV—XV веков. Тем не менее, в ходе раскопок были обнаружены остатки мавзолеев XI—XII веков. В 2001 году ансамбль мавзолеев Шахи Зинда вместе с другими древними постройками Самарканда включён в Список Всемирного наследия ЮНЕСКО. Ансамбль Шахи Зинда формировался на протяжении 9 веков и включает более двадцати сооружений. Старейшие сооружения ансамбля, от которых сохранились только основания и надгробия, датируются XI—XII веками. Шахи-Зинда — единственный археолого-архитектурный памятник, в котором, отразилась почти 25-вековая история.

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

7. Диагонали параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением:

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:


Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Как сформулировать и доказать утверждения о свойствах параллелограмма, теоремы о признаках данной фигуры

  • ЖАНРЫ 359
  • АВТОРЫ 257 287
  • КНИГИ 589 906
  • СЕРИИ 21 963
  • ПОЛЬЗОВАТЕЛИ 548 548

Андрей Николаевич Павлов

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 кл

Предисловие для учащихся

Это пособие призвано помочь вам, во-первых, систематизировать знания по планиметрии, а во-вторых, подготовить вас к итоговым контрольным работам и возможной сдаче экзамена за курс геометрии в 9 классе.

Если вы не сдаёте устный экзамен по планиметрии, а лишь пишете итоговую контрольную работу или сдаете письменный зачёт, можете смело пропустить чтение первой главы этой книги. К её материалам вы сможете обратиться лишь за соответствующими подсказками теоретического характера.

Вторая глава посвящена разбору методов решения планиметрических задач всех основных видов. При этом задачи условно поделены на три уровня сложности. Первый уровень – базовый, второй уровень представлен задачами повышенной сложности. Если же вам наскучили задачи школьного учебника и вы решили готовиться к поступлению в такие вузы как МГУ, МФТИ, МГТУ, МАИ и т. д., решайте задачи третьего уровня сложности. Уровень сложности задания указан в скобках рядом с условием каждой задачи (и каждого вопроса первой главы).

Описание каждого геометрического метода или идеи сопровождается не только решением нескольких типовых задач, но и задачами для самостоятельной работы. Ко всем задачам даны указания и ответы.

Предисловие для учителей

У этой книги две цели. С одной стороны, она представляет собой пособие для учащихся, призванное обобщить знания по курсу планиметрии, подготовить школьника к сдаче экзамена по геометрии в 9 классе. С другой стороны, книга может быть полезной учителям математики, так как содержит не только необходимый материал для подготовки учащихся к экзамену, но и сами комплекты экзаменационных билетов с задачами и ответами к ним.

Особенностью пособия является реализуемый в нем принцип уровневой дифференциации. Все вопросы, задачи и экзаменационные комплекты условно поделены на три уровня: базовый, углублённый и элективный (уровень указан в скобках после каждого задания). Первый уровень соответствует общеобразовательным классам и опирается на действующие стандарты математического образования. Второй уровень, помимо базовых, содержит вопросы и задачи повышенной сложности. Работа на этом уровне целесообразна в гимназических (лицейских) классах в рамках пропедевтики профильного обучения в старших классах. Третий уровень включает материал, который можно использовать как на факультативах, так и в специализированных школах при подготовке учащихся к поступлению в такие вузы, как МГУ, МФТИ, МАИ, МГТУ и другие.

В пособии четыре главы. Первая глава содержит справочную информацию и контрольные вопросы по всему курсу планиметрии. Теоретический материал, выходящий за рамки школьной программы, выделен другим шрифтом. Во второй главе идет разбор планиметрических задач как по объекту решения (треугольник, трапеция, параллелограмм, окружность и т. д.), так и по используемым приёмам и методам, дополняемый задачами для самостоятельной работы. В третьей главе представлены четыре комплекта билетов по геометрии. В четвёртой главе даются ответы, решения и указания к приведённым задачам.

Читайте также:  Какое самое маленькое море в мире: описание, статистика и факты

Автор выражает благодарность своим ученикам: Федору Борзову, Игорю Григорьеву, Елене Гудковой, Марии Ларькиной, Наталье Парамзиной, Марии Соловьёвой, Марии Трошиной, Антону Турецкому, Артему Умаханову, Евгению Штыркову, которые оказали большую помощь в создании книги.

Справочная информация теоретического характера

§ 1. Логические основы школьного курса планиметрии

1.1. Справочная информация

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Такое название этой науке было дано потому, что в древнее время главной целью геометрии было измерение расстояний и площадей на земной поверхности.

Геометрия часто применяется на практике. Её надо знать и рабочему, и инженеру, и архитектору, и художнику. Одним словом, геометрию надо знать всем.

Планиметрия – это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости.

Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Этим фигурам в геометрии не даётся определений.

Также не определяются такие понятия (отношения), как «лежать между», «принадлежать», «проходить через…» и так далее.

Остальным геометрическим фигурам и другим понятиям даются определения. Определение – это предложение, в котором разъясняется смысл и содержание того или иного понятия. При этом разъяснение состоит в том, что оно сводится к ранее определённым понятиям.

Существует несколько подходов к построению курса планиметрии (и геометрии в целом):аксиоматический, аналитический, векторный, групповой.

Аксиоматическая теория строится следующим образом:

1) даются неопределяемые понятия (в нашем случае это точка и прямая);

2) вводятся неопределяемые отношения (связи между понятиями – «лежать между», «принадлежать» и так далее);

3) даётся система аксиом – то есть утверждений, принимаемых без доказательства;

4) на основе аксиом и законов математической логики доказываются теоремы.

Аксиом, как правило, немного, а вот теорем – бесконечное множество. К аксиомам планиметрии можно отнести следующие:

1. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Из трёх точек на данной прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

3. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин его частей, на которые он разбивается любой его точкой.

4. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

5. Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

6. На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

7. От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

8. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча.

9. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

На основе приведённых аксиом доказываются различные свойства геометрических фигур (теоремы). Доказать теорему – значит провести логически правильное рассуждение о свойстве той или иной геометрической фигуры.

Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Записывают это так: У → З (из условия следует заключение; или: если У, то З). Например: У = «углы α и β – вертикальные», З = «углы α и β равны». Получаем верное утверждение (теорему):У → З (если углы и – вертикальные, то они равны, или, проще: вертикальные углы равны).

К каждому утверждению У → З, называемому прямым, можно написать ещё три:

З → У – обратное утверждение;

не У → не З – противоположное утверждение;

не З → не У – противоположное к обратному утверждение.

В нашем примере обратное утверждение (если углы равны, то они вертикальны) и противоположное утверждение (если углы не вертикальные, то они не равны) являются ложными, а вот противоположное к обратному утверждение (если углы не равны, то они не вертикальные) – истинно.

Вообще, в математической логике есть закон контрапозиции, который гласит, что прямое и противоположное к обратному утверждения эквивалентны (по этому же закону эквивалентны обратное и противоположное утверждения).

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Рис.1Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠DAB = ∠BCD, ∠ABC = ∠CDA

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC = ∠CDA, ∠BCD = ∠DAB

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO =d 1
2
BO = DO =d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

Читайте также:  Почему високосный год считается плохим, и как определить високосный год в 21 веке

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a =√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 b 2
2
b =√ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a =h b
sin α
b =h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a =S
ha
b =S
hb

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d 1 = √ a 2 + b 2 – 2 ab·cosβ

d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

d 2 = √ a 2 + b 2 – 2 ab·cosα

d 1 = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d 2 2

d 2 = √ 2 a 2 + 2 b 2 – d 1 2

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 =2S=2S
d 2· sinγd 2· sinδ
d 2 =2S=2S
d 1· sinγd 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

P = 2 a + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 a 2

P = 2 b + √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 – 4 b 2

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P =2( b +h b)
sin α
P =2( a +h a)
sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S =1d 1 d 2 sin γ
2
S =1d 1 d 2 sin δ
2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Параллелограмм

Определение

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Теорема (первый признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Пусть в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) параллельны и (AB = CD) .

Проведём диагональ (AC) , разделяющую данный четырехугольник на два равных треугольника: (ABC) и (CDA) . Эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними ( (AC) – общая сторона, (AB = CD) по условию, (angle 1 = angle 2) как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых (AB) и (CD) секущей (AC) ), поэтому (angle 3 = angle 4) . Но углы (3) и (4) накрест лежащие при пересечении прямых (AD) и (BC) секущей (AC) , следовательно, (ADparallel BC) . Таким образом, в четырехугольнике (ABCD) противоположные стороны попарно параллельны, и, значит, четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (второй признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Проведём диагональ (AC) данного четырехугольника (ABCD) , разделяющую его на треугольники (ABC) и (CDA) .

Эти треугольники равны по трем сторонам ( (AC) – общая, (AB = CD) и (BC = DA) по условию), поэтому (angle 1 = angle 2) – накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) . Отсюда следует, что (ABparallel CD) . Так как (AB = CD) и (ABparallel CD) , то по первому признаку параллелограмма четырёхугольник (ABCD) – параллелограмм.

Теорема (третий признак параллелограмма)

Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник (ABCD) , в котором диагонали (AC) и (BD) пересекаются в точке (O) и делятся этой точкой пополам.

Треугольники (AOB) и (COD) равны по первому признаку равенства треугольников ( (AO = OC) , (BO = OD) по условию, (angle AOB = angle COD) как вертикальные углы), поэтому (AB = CD) и (angle 1 = angle 2) . Из равенства углов (1) и (2) (накрест лежащие при (AB) и (CD) и секущей (AC) ) следует, что (ABparallel CD) .

Итак, в четырехугольнике (ABCD) стороны (AB) и (CD) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник (ABCD) – параллелограмм.

Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Доказательство

1) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AE) – биссектриса угла (BAD) .

Углы (1) и (2) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (AE) . Углы (1) и (3) равны, так как (AE) – биссектриса. В итоге (angle 3 = angle 1 = angle 2) , откуда следует, что треугольник (ABE) – равнобедренный.

2) Пусть (ABCD) – параллелограмм, (AN) и (BM) – биссектрисы углов (BAD) и (ABC) соответственно.

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна (180^) , тогда (angle DAB + angle ABC = 180^) .

Так как (AN) и (BM) – биссектрисы, то (angle BAN + angle ABM = 0,5(angle DAB + angle ABC) = 0,5cdot 180^circ = 90^) , откуда (angle AOB = 180^circ – (angle BAN + angle ABM) = 90^circ) .

3. Пусть (AN) и (CM) – биссектрисы углов параллелограмма (ABCD) .

Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle 2 = 0,5cdotangle BAD = 0,5cdotangle BCD = angle 1) . Кроме того, углы (1) и (3) равны как накрест лежащие при параллельных прямых (AD) и (BC) и секущей (CM) , тогда (angle 2 = angle 3) , откуда следует, что (ANparallel CM) . Кроме того, (AMparallel CN) , тогда (ANCM) – параллелограмм, следовательно, (AN = CM) .

Ссылка на основную публикацию