Модуль числа в математике — что это такое, как раскрыть абсолютную величину, решение уравнений

Модуль числа. Ненаучное объяснение того, зачем он нужен.

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности.

А между тем она проста как апельсин. Но чтобы ее понять, давай сначала разберемся зачем нужен модуль.

Вот смотри, ситуация первая.

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине “минус 70 километров” (мы проедем 70 километров, неважно, в каком направлении), как и не можем купить “минус 5 кг апельсинов”. Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая.

Ты покупаешь пакет чипсов “Lay’s”. На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией Lays, если они тебе недовесили?

Нет. Потому что Lays устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это “плюс-минус” – это и есть модуль.

Ситуация третья.

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: “Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!” 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от нуля в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления .

Итак, ты делаешь шага вперёд и оказываешься в точке с координатой .

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на шага ( единичных отрезка). То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно .
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой сделать шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой .

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае? Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки ( и ), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение ( ).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля . Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа будет . Модуль числа также равен , потому что расстояние не может быть отрицательным !

Модуль – это абсолютная величина

Обозначается модуль просто:

Итак, найдём модуль числа и :

Основные свойства модуля

Вот мы и приблизились к первому свойству модуля:

Модуль не может быть выражен отрицательным числом.

То есть, если – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу:

если text< >mathbf<0>,”> то .

Если – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу:

А если ? Ну, конечно! Его модуль также равен :

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

А теперь потренируйся:

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда?

А если перед тобой вот такое число:

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль :

  • если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
  • если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим :

Если , то какой знак имеет ? Ну конечно, !

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

Разобрался? Тогда попробуй сам:

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля?

Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

при условии, что (так как на ноль делить нельзя).

Стоит запомнить ещё одно свойство модуля:

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:

Почему так? Всё очень просто!

Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное. Допустим, что числа и оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению.

Рассмотрим на примере:

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

Вроде с этим свойством все ясно, рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля.

Что если перед нами такое выражение:

Что мы можем сделать с этим выражением? Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что , а значит .

Число больше нуля, а значит можно просто записать:

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

А чему равно такое выражение:

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства. И что же получается? А вот что:

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

1. Найдите значение выражения , если .

2. У каких чисел модуль равен ?

3. Найдите значение выражений:

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Итак, подставим значения и в выражение

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное имеют два числа: и .

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Попробуем упростить выражение

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

Получается, значение первого выражения под модулем .

, следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Во втором случае просто отбросим знак модуля:

Упростим данное выражение целиком:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа – это само число , если , и число , если :

Решение уравнений с модулем – правила, методы и примеры

Начало обучения

Теоретические знания нужно приобретать целенаправленно. Не имеет смысла запоминать огромные массивы информации, поскольку она не отложится в головном мозге. Объяснением этого является защита организма и нервной системы от переутомления. Однако следует обратить внимание на «лазейки», с помощью которых можно добиться успехов. При этом зубрить материал необязательно.

Математики рекомендуют не тратить время на заучивание материала. Они считают, что очень важно с ним ознакомиться и разобраться. Сегодня существует много информации, однако она часто изложена на непонятном языке или неправильно.

Перед изучением любой дисциплины следует составить подробный план. Эта операция довольно сложная, поскольку произвести ее может не каждый. Специалисты рекомендуют действовать по такому абстрактному алгоритму:

  • Поставить задачу.
  • Определить базовый минимум знаний.
  • Найти информацию о каждом элементе второго пункта.
  • Разобраться в терминах и теоретическом материале.
  • Приступить к практике начиная с простых заданий.
Читайте также:  Растительная и животная клетка, таблица сравнения в строении и жизнедеятельности, вывод

Первый пункт должен быть подробно расписан. Необходимо точно описать проблему, а также последствия (например, научиться решать что-то). После этого нужно найти информацию, желательно использовать несколько источников. В некоторых случаях каждую задачу во втором пункте допускается разбивать на подзадачи.

Далее необходимо составить список всех необходимых знаний, которые нужны для достижения цели в первом пункте (например, решение квадратных уравнений с модулем). Их нужно расписать полностью. Можно воспользоваться любым текстовым процессором (Word, OpenOffice и т. д.). Основная задача третьего пункта заключается в полной систематизации информации.

Четвертый пункт — углубленное чтение. Нужно не просто прочитать материал, а попытаться в нем разобраться. Заучивать его нет смысла, поскольку такие действия очень часто приводят к разочарованию и усталости. После четвертого пункта следует приступить к решению простых примеров. Действия нужно выполнять до полного автоматизма. Основной принцип этого алгоритма — постепенное усваивание материала.

Базовые знания

Практическое применение описанного алгоритма следует разобрать на примере решения уравнений с модулем. Первый пункт — постановка задачи, формулировка которой следующая: научиться решать произвольные уравнения с модулем. На основании этого можно составить перечень элементов. Первым из них является модуль. Список пунктов по нему может быть следующим:

  • Определение и обозначение.
  • Геометрический и математический смысл.
  • График функции y = |x|.
  • Свойства.

Вторым пунктом является классификация уравнений, поскольку каждое из них может содержать модуль. Необходимо найти информацию о выражениях с неизвестным и их классификации. Третий пункт — способы и методы решения. В некоторых случаях потребуются алгоритмы нахождения корней. Если все систематизировать, то можно получить план такого вида:

  • Модуль.
  • Классификация уравнений.
  • Алгоритмы и методы решения уравнений без модуля.
  • Особенности решения выражений, содержащих неизвестные под знаком модуля.

Далее необходимо найти информацию об элементах плана. Нет необходимости включать в пункт 1 тыс. страниц печатного текста. Для этих целей следует воспользоваться и сравнить несколько источников. Объема, равного двум или трем листам, достаточно, но можно его сократить до одной страницы.

Общие сведения о модуле

Модулем числа называется абсолютная величина, представляющая неотрицательное число. Обозначается следующим образом: |любое число|. Следует отметить, что модуль рассматривается как два значения выражения (отрицательное и положительное). Это очень важно при решении уравнений. Запись |x| расписывается по формуле, которая состоит из кусочной линейной функции:

  1. х: x >= 0.
  2. -x: x = 0.
  3. Модули чисел с разными знаками равны: |x| = |-x|.
  4. Произведение под знаком модуля равно произведению абсолютных величин: |x * y| = |x| * |y|.
  5. Частное двух чисел под знаком модуля равно частному их абсолютных значений: |x / y| = |x| / |y|. Необходимо учитывать, что y не равен нулю. Для пропорции тоже справедливо это утверждение: |x / y| = |z / w| = |x| / |y| = |z| / |w|.
  6. Модуль суммы равен или меньше суммы модулей значений: |x + y| 2 .
  7. Корень четной степени 2n из числа a в степени 2n эквивалентен |a|: [a^(2n)]^(½n) = |a|.

Объем информации небольшой. Далее необходимо разобраться и приступить к сбору данных для следующего пункта.

Классификация уравнений

Существует огромное разнообразие уравнений и их частных случаев. Однако следует разобрать самые основные виды, которые встречаются в алгебраических задачах. Тождества с одним неизвестным бывают таких видов:

  • линейные;
  • квадратные;
  • кубические;
  • биквадратные (четвертая степень).

Первый тип является самым простым. Это уравнение вида Ay + B = 0. Для нахождения корня следует перенести известные величины в правую сторону относительно знака равенства, а неизвестный член оставляют в левой. В результате оно принимает такой вид: Ay = -B. Неизвестный аргумент можно найти по такой формуле: у = -В / А.

Квадратные уравнения вида Ay 2 + By + C = 0 (А не равно 0) решать немного сложнее, поскольку появляется новая величина. Она называется дискриминантом. Для нахождения корней следует применить такой алгоритм:

  • Вычислить дискриминант: D = (-B)^2 – 4AC.
  • Если D > 0, то решениями тождества считаются два корня: y1 = -B – D^(½) / 2A и y2 = -B + D^(½) / 2A.
  • При D = 0 оно имеет всего один корень: y = -B / 2A.
  • Если D 2 = C). Далее следует выполнить следующие шаги:

  1. Разделить С на А.
  2. Если (С / А) > 0, то извлечь квадратный корень из него: y = (С / А)^(½). Результат будет в виде двух решений, поскольку значение квадратного корня из числа являются положительной и отрицательной величинами.
  3. При (С / А) 2 + By = 0). Уравнение решается при помощи вынесения общего множителя за скобку. Алгоритм решения довольно простой:

  • Вынести неизвестную величину за скобку: y (Ay + B) = 0.
  • Разобрать каждое уравнение: y1 = 0 и Ay2 + B = 0.
  • Оба примера в пункте 2 решаются просто: первое — готовое решение, а второе — линейное.

Эти виды уравнений являются простыми. Отдельно следует описать принцип решения сложных тождеств с неизвестным.

Сложные типы

Сложнее решаются кубические тождества с неизвестным (Ay 3 + By 2 + Cy + D= 0). Они бывают нескольких типов, по которым и следует выбирать алгоритм решения:

  1. Ay 3 + D= 0.
  2. Ay 3 + By 2 + By + A = 0.
  3. Ay 3 + By 2 + Cy = 0.
  4. Ay 3 + By 2 + Cy + D = 0.

Для решения первого типа его следует привести к такому виду: y 3 + D/А= 0. Затем нужно воспользоваться формулой разложения на множители: y 3 + D/А = (y + (D/A)^(1/3)) * (y 2 — [(D/A)^(1/3)]y + [(D/A)^2]^(1/3)) = 0. В результате операции степень понижается, и получаются два уравнения.

Второй тип следует решать при помощи метода математических преобразований: Ay 3 + By 2 + By + A = A (y 3 + 1) + B (y 2 + x) = A (y + 1)(y 2 — y + 1) + By (y + 1) = (y + 1)(Ay 2 + y (B — A) + A) = 0. Получаются два тождества: линейное и квадратное. Для решения третьего вида следует просто вынести неизвестное за скобку: Ay 3 + By 2 + Cy = y (Ay 2 + By + C) = 0.

Сложно решить уравнение четвертого типа. Для этого следует воспользоваться формулой Кардана. Кроме того, необходимо придерживаться такого алгоритма:

  • Ввести коэффициенты: Е1 = В/А, Е2 = С/А и Е3 = D/A.
  • Параметры для формулы: u = -((E1)^2 / 3) + E2 и v = [2 (E1)^3 / 27] – [(E1 * E2) / 3] + E3.
  • Формула Кардана: z = [(-v / 2) + ((v 2 / 4) + u 3 / 27)^(½)]^(1/3) + [(-v / 2) — (-(v 2 / 4) + u 3 / 27)^(½)]^(1/3).
  • Найти корни: y1 = z – E1, y2 = z – E2 и y3 = z – E3.

Существуют также и биквадратные уравнения вида Ay 4 + By 2 + C = 0. Все они решаются при помощи замены. Суть методики сводится к понижению степени. Алгоритм решения имеет такой вид:

  • Разделить все члены уравнения на А. Если А = 1, то этот пункт следует пропустить.
  • Ввести параметр замены: t = y 2 .
  • Записать уравнение с учетом нового параметра: t 2 + (B/А)t + C/А = 0.
  • Найти корни квадратного уравнения относительно t.
  • Вернуться ко второму пункту, найти корни: y1 = t^(½) и y2 = -[t^(½)].

В пятом пункте следует учитывать, что корней может быть четыре, поскольку у квадратного тождества с неизвестным t есть один или два корня. Далее можно рассмотреть алгоритм для решения модульных уравнений.

Поиск корней

После изучения основных элементов, которые необходимы для решения равенств модульного типа с неизвестными, можно переходить к рассмотрению алгоритма. Следует на первоначальном этапе правильно раскрыть модуль в уравнении. Эту методику можно применить и к неравенствам такого же типа. Правила нахождения корней следующие:

  • Раскрыть модуль.
  • Упростить.
  • Решить два уравнения по одной из методик.
  • Проверить корни, подставив их в исходное выражение.
  • Автоматизированная проверка.

При раскрытии модуля образуются выражения с противоположными знаками. Специалисты рекомендуют заключить их в квадратные скобки, а также указывать минус и плюс. Последний пункт — использование онлайн-калькулятора для решения уравнений с модулем. После теории можно приступить к практическому решению.

Пример решения

Необходимо решить уравнение биквадратного типа |4z 4 + 8z 2 — 20| = 4. Ошибочное утверждение, которое делают новички, заключается в упрощении (разделить обе части на 4). Однако это делать не рекомендуется, поскольку следует придерживаться алгоритма:

  1. Раскрытие модуля (двойное выражение): 4z 4 + 8z 2 — 20 = 4 и -[4z 4 + 8z 2 — 20] = 4.
  2. Упрощение: 4z 4 + 8z 2 — 20 — 4 = 4z 4 + 8z 2 — 24 = z 4 + 2z 2 — 6 = 0 и -4z 4 — 8z 2 + 20 — 4 = -z 4 + 2z 2 — 4 = 0.
  3. Решение z 4 + 2z 2 — 4 = 0 с вводом параметра замены t = z 2 : t 2 + 2t — 6 = 0.
  4. Дискриминант: D1 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-6) = 28 = [2 * (7)^(½)]^2.
  5. Корни: t1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (7)^(½)] / 2 = -1 — (7)^(½) и t2 = -1 + (7)^(½).
  6. Окончательное решение первого уравнения: z1 = [-1 + (7)^(½)]^(½) и z2 = -[-1 + (7)^(½)]^(½).
  7. Решение второго уравнения с w = z 2 : w 2 + 2w — 4 = 0.
  8. Дискриминант: D2 = (-B)^2 — 4AC = 4 — 4 * (-4) = 20 = [2 * (5)^(½)]^2.
  9. Корни: w1 = [-B — (D1)^(½)] / 2A = [2 — 2 * (5)^(½)] / 2 = -1 — (5)^(½) и w2 = -1 + (5)^(½).
  10. Нахождение искомых корней: z3 = [-1 + (5)^(½)]^(½) и z4 = -[-1 + (5)^(½)]^(½).

Корнями являются четыре иррациональных значения. Если проверить при помощи онлайн-калькулятора, то ответы будут верными. В физике также можно встретить такой тип уравнений. Например, необходимо выполнить сравнение сил, направленных в противоположные стороны. В этом случае рекомендуется воспользоваться модулем для упрощения записи.

Задание любого типа следует решать, используя абстрактный алгоритм. Он позволяет произвести вычисления без ошибок, что позволит сэкономить много времени.

Абсолютная величина. Модуль.

Абсолютными величинами называются — объем или размер события, которое изучается или явления, процесса, который выражен в соответствующих единицах измерения в конкретных условиях места и времени.Или, другими словами: это просто число без учёта знака (всегда с плюсом).

Абсолютное значение величины – это само число (без знака), как например: температура, давление, скорость и т. п. Модуль – это число без направления, например: давление, скорость, сила и т. п.

Абсолютная величина числа или модуль числа x — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа x. Обозначается: |x|.

Если x вещественный, то абсолютная величина – это непрерывная кусочно-линейная функция, которая определяется так, формула:

Обобщением этого понятия есть модуль комплексного числа z=x+iy, иногда называют абсолютной величиной. Его определяют формулой:

Абсолютные величины, виды:

  • Индивидуальная абсолютная величина — характеризует единицу совокупности,
  • Суммарная абсолютная величина — характеризует группу единиц или всю совокупность.

Свойства модуля.

  • Модулю присущи некоторые характерные результаты – свойства модуля.
  • Модуль числа не бывает числом меньше нуля. Обоснование этого свойства: модуль числа – это расстояние, а расстояние не выражается числом ниже нуля.
  • Модуль числа = 0 только в том случае, если это число является нулем. Модуль нуля – это нуль по определению. Нуль – это начало отсчета, ни одна больше точка на координатной прямой нулем не является. Исходя из этого, каждому числу, не равному нулю, соответствует точка, не являющаяся началом отсчета. Значит, расстояние начало отсчета – любая точка, не соответствующая точке O, не равно нулю, т.к. расстояние между 2 точка и равно нулю только если они совпадают. Из этого следует, что нулю равен только модуль нуля.
  • Противоположные числа имеют одинаковые модули, т.е. , для каждого числа a. Так и есть, 2 точки на координатной прямой, координаты которых – противоположные числа, расположены на равном расстоянии от начала отсчета, т.о. модули противоположных чисел одинаковы.
  • По определению модуль произведения чиселa и b равен либо a·b, если , либо −(a·b), если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.
  • Модуль частного от деленияa на b = частному от деления модуля числа a на модуль числа b, т.е.,

.

Так как частное = , то . В силу предыдущего свойства имеем . Воспользуемся равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

  • – неравенство треугольника, где a, b и c – произвольные действительные числа.

Основные свойства абсолютной величины.

Вещественные числа.

  • Область определения: .
  • Область значений: .
  • Функция чётная.
  • Функция дифференцируема везде, кроме нуля. В точке x = 0 функция претерпевает излом.

Комплексные числа.

  • Область определения: вся комплексная плоскость.
  • Область значений: .
  • Модуль как комплексная функция не дифференцируется ни в одной точке.

Алгебраические свойства абсолютной величины.

Для каждого имеют место следующие соотношения:

  • ,
  • ,
  • ,

Как для вещественных, так и для комплексных a, b имеют место соотношения:

  • , причём только если ,
  • ,
  • неравенство треугольника,
  • ,
  • ,
  • ,
  • , если a k существует.

Как раскрыть модуль действительного числа и что это такое

В школе на уроке математики каждый год ученики разбирают новые темы. 6 класс обычно изучает модуль числа – это важное понятие в математике, работа с которым встречается далее в алгебре и высшей математики. Очень важно изначально правильно понять объяснение термина и разобраться в этой теме, чтобы успешно проходить прочие темы.

Величины в математике

Для начала следует понимать, что абсолютная величина – это параметр в статистике (измеряется количественно), который характеризует изучаемое явление по его объему. При этом явление должно осуществляться в определенных временных рамках и с определенным месторасположением. Различают значения:

  • суммарные – подходят для группы единиц или полностью всей совокупности;
  • индивидуальные – подходят только для работы с единицей некой совокупности.

Понятия широко используются в статистических измерениях, результатом которых являются показатели, характеризующие абсолютные размеры у каждой единицы некоего явления. Измеряются они в двух показателях: натуральном, т.е. физические единицы (шт., люди) и условно-натуральном. Модуль в математике является отображением данных показателей.

Что такое модуль числа?

Важно! Данное определение «module» с латыни переводиться как «мера» и означает абсолютную величину любого натурального числа.

Но у данного понятия есть и геометрическое объяснение, поскольку модулю в геометрии равняется расстояние от начала системы координат до точки X, которое измеряется в привычных единицах измерения.

Для того, чтобы определить данный показатель у числа, следует не учитывать его знак (минус, плюс), но при этом следует помнить то, что он никогда не может быть отрицательным. Данное значение на бумаге выделяется графически в виде квадратных скобок — |a|. При этом, математическое определение такое:

|х| = х, если х больше или равен нулю и -х, если меньше нуля.

Английский ученый Р. Котес был тем человеком, кто впервые применил данное понятие в математических расчетах. А вот К. Вейерштрасс, математик из Германии, придумал и ввел в использование графический символ.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

В геометрии module можно рассмотреть на примере координатной прямой, на которое нанесены 2 произвольные точки. Предположим, одна — А имеет значение 5, а вторая В — 6. При подробном изучении чертежа станет ясно, что расстояние от А до В – 5 единиц от нуля, т.е. начала координат, а точка В размещена от начала координат на 6 единиц. Можно сделать вывод, что module точки, А = 5, а точки В = 6. Графически это можно обозначить так: | 5 | = 5. Т. е. расстояние от точки до начала координат является модулем данной точки.

Полезное видео: что такое модуль действительного числа?

Свойства

Как у любого математического понятия, у module есть свои математические свойства:

  1. Он всегда положительный, поэтому модулем положительного значения будет оно само, например, модуль числа 6 и -6 равен 6. Математически это свойство можно записать как |a| = a, при a> 0;
  2. Показатели противоположных чисел равны между собой. Это свойство понятнее в геометрическом изложении, поскольку на прямой данные числа располагаются в разных местах, но при этом от начала отсчета их отделяет равное количество единиц. Математически это записывается так: |а| = |-а|;
  3. Модуль нуля равен нулю, при условии, что действительное число – это ноль. Это свойство подтверждается тем фактом, что ноль является началом координат. Графически это записывают так: |0| = 0;
  4. Если требуется найти модуль двух умножающихся цифр, стоит понимать, что он будет равен полученному произведению. Другими словами, произведение величин А и В = АВ, при условии, что они положительные или же отрицательные, и тогда произведение равняется -АВ. Графически это можно записать как |А*В| = |А| * |В|.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

Успешное решение уравнений с модулем зависит от знания данных свойств, которое поможет любому правильно вычислять и работать с данным показателем.

Важно! Показатель не может быть отрицательным, поскольку он определяет расстояние, которое всегда положительное.

В уравнениях

В случае работы и решения математических неравенств, в которых присутствует module, всегда необходимо помнить, что для получения итогового правильного результата следует раскрыть скобки, т.е. открыть знак module. Зачастую, в этом и есть смысл уравнения.

При этом стоит помнить, что:

  • если в квадратных скобках записано выражение, его необходимо решить: |А + 5| = А + 5, при А больше или равным нулю и 5-А, в случае А меньше нуля;
  • квадратные скобки чаще всего должны раскрываться независимо от значений переменной, например, если в скобках заключено выражение в квадрате, поскольку при раскрытии в любом случае будет положительное число.

Это интересно! Уроки математики: умножение на ноль — главное правило

Очень легко решаются уравнения с module путем занесения значений в систему координат, поскольку тогда легко увидеть визуально значения и их показатели.

Полезное видео: модуль действительного числа и его свойства

Вывод

Принцип понимания такого математического понятия, как module, крайне важен, поскольку оно используется в высшей математике и прочих науках, поэтому необходимо уметь работать с ним.

Модуль числа в математике — что это такое, как раскрыть абсолютную величину, решение уравнений

Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:

Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на “минус”, и знак модуля, опять-таки, больше не писать.

Основные свойства модуля:

Некоторые методы решения уравнений с модулями

Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:

Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:

А для уравнений вида:

Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:

Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:

Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

  • Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
  • Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x, которые легко подставлять.
  • Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

Решение уравнений с модулем в курсе математики 7-8 класса

Практически каждый учитель знает, какие проблемы вызывают у учащихся задания, содержащие модуль. Это один из самых трудных материалов, с которыми школьники сталкиваются на экзаменах.

Выбор темы обусловлен тем, что, во-первых, задачи, связанные с абсолютными величинами, часто встречаются на математических олимпиадах и на экзаменах, во-вторых, это понятие широко применяется не только в различных разделах школьного курса математики, но и в курсе высшей математики. Так в математическом анализе понятие абсолютной величины числа используется при определении основных понятий: предела, ограниченности функции и других. В теории приближенных вычислений употребляется понятие абсолютной погрешности. В механике, в геометрии изучается понятие вектора, одной из характеристик которого служит его длина (модуль вектора).
Несмотря на то, что тема «Модуль числа» проходит «красной нитью» через весь курс школьной и высшей математики, для ее изучения по программе отводится очень мало времени (в 6 классе -2 часа, в 8 классе – 4 часа).

Исходя из всего вышесказанного, учителю необходимо находить разнообразные методические приемы, использовать различные подходы и методы в обучении решению задач с модулем. Разнообразие методов будет способствовать сознательному усвоению математических знаний, вовлечению учащихся в творческую деятельность, а также решению ряда методических задач, встающих перед учителем в процессе обучения, в частности, реализации внутрипредметных связей (алгебра-геометрия), расширению области использования графиков, повышению графической культуры учеников.

Указанные обстоятельства обусловили выбор темы творческой работы. Цель работы: показать необходимость более глубокого рассмотрения темы «Решение уравнений с модулем» в школьной программе; разработать методические рекомендации по использованию различных методов при решении задач с модулем. §1. Основные способы, используемые при решении уравнений, содержащих модуль.

Напомним основные понятия, используемые в данной теме. Уравнением с одной переменной называют равенство, содержащее переменную. Корнями уравнения называются значения переменной, при которых уравнение обращается в верное равенство. Решить уравнение – значит, найти все его корни или доказать, что корней нет. Уравнением с модулем называют равенство, содержащее переменную под знаком модуля.

При решении уравнений, содержащих знак абсолютной величины, мы будем основываться на определении модуля числа и свойствах абсолютной величины числа.

Существует несколько способов решения уравнений с модулем. Рассмотрим подробнее каждый из них.

1 способ. Метод последовательного раскрытия модуля.

Пример 1. Решим уравнение |х-5|=4.

Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения. Если выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно, то есть х-5≥0, то уравнение примет вид х-5=4. Если значение выражения под знаком модуля отрицательно, то по определению оно будет равно – (х-5)=4 или х-5= -4. Решая полученные уравнения, находим: х1=9, х2=1.
Ответ: 9; 1.
Решим этим же способом уравнение, содержащее «модуль в модуле».

Пример 2. Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

Рассуждая аналогично, рассмотрим два случая.
1). |2х-1|-4=6, |2х-1|=10. Используя еще раз определение модуля, получим: 2х-1=10 либо 2х-1= -10. Откуда х1=5,5, х2= -4,5.
2). |2х-1|-4= -6, |2х-1|= -2. Понятно, что в этом случае уравнение не имеет решений, так как по определению модуль всегда неотрицателен.
Ответ: 5,5; -4,5.
2 способ. Метод интервалов.
Опорная информация:

Метод интервалов – это метод разбиения числовой прямой на промежутки, в которых по определению модуля знак абсолютной величины можно будет снять. Для каждого из промежутков необходимо решить уравнение и сделать вывод относительно получившихся корней. Корни, удовлетворяющие промежуткам, и дадут окончательный ответ.

Пример 3. Решим уравнение |х+3|+|х-1|=6.
Найдем корни (нули) каждого выражения, содержащегося под знаком модуля: х+3=0, х= -3; х-1=0, х=1. Эти значения х разбивают числовую прямую на три промежутка:
-3 1

Решим уравнение отдельно в каждом из получившихся промежутков. В первом промежутке (х Давыдова Наталья Александровна 12.06.2011 206848 0

Читайте также:  Лазарев: открытие Антарктиды, краткая биография, маршрут плаванья и освоение материка
Ссылка на основную публикацию