Умножение числа на 0: что такое умножение, свойства 0, можно ли делить на 0

Уроки математики: умножение на ноль – главное правило

Впервые с таким арифметическим действием, как умножение, ученики знакомятся на школьной скамье. Учитель математики среди многочисленных правил поднимает тему «умножение на ноль». Несмотря на однозначность формулировки, у учащихся возникает множество вопросов. Давайте рассмотрим, что будет, если умножить на 0.

По две стороны спора

Правило, согласно которому умножать на ноль нельзя, порождает массу споров между преподавателями и их учащимися. Важно понимать, что умножение на ноль является спорным аспектом ввиду своей неоднозначности.

В первую очередь акцентируется внимание на отсутствии достаточного уровня знаний у учеников средней общеобразовательной школы. Переступая порог учебного заведения, участник образовательного процесса в большинстве случаев не задумывается о главной цели, которую необходимо преследовать.

В течение обучения преподаватель освещает различные вопросы. В их число входит ситуация, что получится, если умножать на 0. Стремясь предвосхитить повествование преподавателя, некоторые ученики вступают в полемику. Они доказывают, по крайней мере, стараются, что умножение на 0 допустимо. Но, к сожалению, это не так. При умножении на 0 любого числа получается ровным счетом ничего. В некоторых литературных источниках даже встречается упоминание, что любое число, умноженное на ноль, образует пустоту.

Важно! Внимательные слушатели аудитории сразу схватывают, что если число умножить на 0, то в результате получится 0. Иное развитие событий прослеживается в случае тех учеников, кто систематически пропускает занятия. Невнимательные или недобросовестные учащиеся чаще остальных задумываются, сколько будет, если умножать на ноль.

В результате отсутствия знаний по теме преподаватель и нерадивый ученик оказываются по противоположные стороны противоречивой ситуации.

Различие во взглядах на тему спора заключается в степени образованности на предмет того, можно умножать на 0 или все-таки нет. Единственный допустимый выход из сложившейся ситуации – попытаться воззвать к логическому мышлению для поиска верного ответа.

Для объяснения правила не рекомендуется использовать следующий пример. У Вани в сумке лежат 2 яблока на перекус. В обед он задумался о том, чтобы положить в портфель еще сколько-нибудь яблок. Но в тот момент рядом не оказалось ни одного фрукта. Ваня не положил ничего. Иными словами, к 2 яблокам он поместил 0 яблок.

Это интересно! Считаем правильно: как находить процент от суммы и числа

В плане арифметики в данном примере получается, что если 2 умножить на 0, то не получается пустоты. Ответ в этом случае однозначный. Для этого примера правило умножения на ноль не актуально. Верное решение заключается в суммировании. Именно поэтому правильный ответ заключается в 2 яблоках.

В противном случае учителю не остается ничего иного, кроме как составить ряд заданий. Последняя мера – повторно задать прохождение темы и провести опрос на исключения в умножении.

Суть действия

Изучение алгоритма действий при умножении на ноль целесообразно начинать с обозначения сути арифметического действия.

Сущность действия умножить изначально определялась исключительно для натурального числа. Если раскрывать механизм действия, то определенное число, участвующее в вычислении, прибавляется к самому себе.

При этом важно учитывать количество прибавлений. В зависимости от данного критерия получается различный результат. Прибавление числа относительно самого себя определяет такое его свойство, ка натуральность.

Это интересно! Как разложить на множители квадратный трехчлен: формула

Рассмотрим на примере. Необходимо число 15 умножить на 3. При умножении на 3 число 15 троекратно увеличивается в своей величине. Иными словами, действие выглядит как 15 * 3 = 15 + 15 + 15 = 45. Основываясь на механизме расчета, становится очевидным, если число умножить на другое натуральное число, возникает подобие сложения в упрощенном виде.

Алгоритм действий при умножении на 0 целесообразно начинать с предоставления характеристики на ноль.

Обратите внимание! Согласно общепринятому мнению ноль обозначает целое ничто. Для пустоты подобного рода в арифметике предусмотрено обозначение. Несмотря на данный факт, нулевое значение не несет под собой ничего.

Следует отметить, что подобное мнение в современном мировом научном обществе отличается от точки зрения древних восточных ученых. Согласно теории, которой они придерживались, ноль приравнивался к бесконечности.

Иными словами, если умножить на ноль, то получится многообразие вариантов. В нулевом значении ученые рассматривали некое подобие глубины мироздания.

В качестве подтверждения возможности умножить на 0 математики приводили следующий факт. Если рядом с любым натуральным числом поставить 0, то получится значение, превышающее исходное в десятки раз.

Приведенный пример является одним из аргументов. Кроме доказательства подобного рода, существует множество других примеров. Именно они лежат в основе непрекращающихся споров при умножении на пустоту.

Это интересно! Как найти и чему будет равна длина окружности

Целесообразность попыток

Среди учеников довольно часто на первых порах освоения учебного материала встречаются попытки число умножить на 0. Подобное действие является грубейшей ошибкой.

По существу от таких попыток ничего не произойдет, но и пользы не будет. Если произвести умножение на нулевое значение, то получится в дневнике неудовлетворительная отметка.

Единственная мысль, которая должна возникать при умножении на пустоту, – невозможность действия. Запоминание в данном случае играет немаловажную роль. Выучив правило раз и навсегда, учащийся предотвращает появление спорных ситуаций.

В качестве примера, применяемого при умножении на нулевое значение, разрешается использовать следующую ситуацию. Саша решила купить яблоки. Пока она была в супермаркете, она остановила выбор на 5 крупных спелых яблоках. Сходив в отдел молочной продукции, она посчитала, что этого ей будет недостаточно. Девочка положила к себе в корзину еще 5 штук.

Поразмыслив еще чуть-чуть, она взяла еще 5. В результате на кассе у Саши получилось: 5 * 3 = 5 + 5 + 5 = 15 яблок. Если бы она положила по 5 яблок только 2 раза, то было бы 5 * 2 = 5 + 5 = 10. В том случае, если бы Саша не положила в корзинку ни разу по 5 яблок, было бы 5 * 0 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0. Иными словами, купить яблоки 0 раз значит не купить ни одного.

Полезное видео

Подведем итоги

Правило умножения на нулевое значение порождает множество споров. Для понимания его сути достаточно рассмотреть пару примеров. Только запоминание формулировки позволит уяснить, можно умножать на 0 или нет.

Умножение на ноль – правило в математике и примеры

История возникновения

Ноль означает ничто, пустоту. Он используется для обозначения пустых разрядов чисел в позиционной системе счисления, а также в десятичных дробях до и после запятой. Вокруг этой цифры всегда велось много споров. Использовать ноль начали еще в древности, о чем свидетельствуют трактаты вавилонян и надписи майя.

Но повсеместно применять в вычислениях его начали лишь спустя несколько тысячелетий. Это произошло в Индии. Нулю там придавали не только математический, но и философский смысл. Он означает отсутствие всего, а его форма соответствовала кругу жизни.

Индусы использовали 0 как любое другое число. Его складывали, вычитали, на него умножали. С делением на 0 возникла проблема, но благодаря ей в дальнейшем возникла другая область математики — математический анализ. Идею использования нуля подхватили исламские ученые на Ближнем Востоке и внесли его в арабскую систему счисления.

В Европе до Крестовых походов применялась Римская система счисления. Это непозиционная система, и ноль в ней отсутствует. Делать расчеты в ней очень тяжело. Для вычислений использовали специальные разграфленные таблицы — абаки. Расчеты с их применением производились часами, в то время как сегодня любой школьник сможет легко получить результат, например, перемножая или складывая числа в столбик.

Во времена первых Крестовых походов арабские цифры вместе с нолем и позиционной системой счисления пришли в Европу. К этим новшествам сначала отнеслись с большим недоверием. Во Флоренции даже был издан закон о запрещении использования арабских цифр вместе с нулем.

Считалось, что они поощряют мошенничество: 0 легко переделать на цифру 9 или приписать в конце счета, чтобы величина долга возросла многократно. Лишь в XV веке, когда началось развитие в сфере математики и механики, люди оценили преимущество нуля и арабских цифр и стали использовать их повсеместно.

Сложение, умножение, степень

В математике используется несколько действий. Они следующие:

  • сложение;
  • вычитание;
  • умножение;
  • деление;
  • возведение в степень.

Сложение с нулем обычно вопросов не вызывает. Если к любому числу добавить 0, это значит, что к нему не прибавилось ничего. Слагаемое каким было, таким и осталось, сколько раз ноль ни прибавляй. То же самое будет, если отнять ноль.

Операция умножения гораздо менее очевидна. Не все понимают, почему при умножении на ноль получается ноль. Это объясняется особенностями операции умножения. Изначально ее определяли как число, прибавленное к самому себе определенное количество раз, что справедливо для натуральных чисел. Так, 5 х 3 = 15. Этот пример можно заменить следующим выражением: 5 + 5 + 5 = 15. То есть число 5 было взято 3 раза. Согласно этому правилу, умножение на 0 числа 5 дает нулевой результат, и 5 х 0 = 0.

Чтобы было нагляднее, можно привести следующий пример:

  • если мальчик съел 2 раза по 2 яблока, то окажется, что он позавтракал 4 яблоками;
  • если он съел 3 раза по 2 яблока, то в результате получится 6 яблок;
  • если же он съел 0 раз по 2 яблока, то ответ будет 0.
Читайте также:  Метаболизм веществ: его виды, основные этапы, общая схема протекания, нарушения

Иногда юные скептики выдвигают следующее возражение: допустим, у мальчика в руке 2 яблока. Если он не съел их, то яблоки не пропадут, они так и останутся в него в руке. Почему же тогда результат равен нулю? Действительно, яблоки из руки никуда не денутся. Но в примере учитываются лишь те из них, которые были съедены, проще говоря, оказались в желудке у мальчика. В последнем случае они туда не попали.

Правило умножения на ноль в математике действительно для любых чисел:

  • положительных;
  • отрицательных;
  • целых;
  • дробей;
  • разрядных;
  • рациональных;
  • иррациональных;
  • 0 можно умножать на 0.

В любом случае произведение будет нулевым. С нулем можно производить следующие действия:

  1. Если его разделить на любое ненулевое число, то в результате получится ноль. Правило действительно для положительных и отрицательных чисел.
  2. Любое число, не равное нулю, можно возвести в нулевую степень, в результате получится 1. Ноль в нулевую степень возводить нельзя, это бессмысленно.
  3. Нуль можно возвести в любую ненулевую степень, получится нуль. Пример: 0 2 = 0. Это выражение можно заменить следующим: 0 х 0 =0. Результат будет нулевым согласно правилам умножения.
  4. Корень из нуля равен нулю.

Деление на ноль

Математики говорят, что четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление неравноправны. Базовыми считаются первое и третье из них (сложение и умножение), а деление и вычитание — производными.

Например, разность между 5 и 2 равна 3. Это действие также можно записать в виде следующего выражения: Х + 2 = 5. Решением уравнения будет число 3. Аналогичное правило действует и для умножения. Деление 6 на 3 можно записать так: Х * 2 = 3.

Для действий с нулем можно использовать следующий прием. Выражение записывают так: Х * 0 = 0. Здесь X может быть равен любому числу. Из этого следует, что невозможно найти число, умножение которого на 0 давало бы произведение, отличное от 0.

Если попытаться найти результат от деления ненулевого числа (например, 5) на ноль, то это действие можно записать так: Х * 0 = 5. Так, при умножении любого числа на ноль получается ноль, у этого уравнения в арифметике нет решения.

Раскрытие неопределенностей

Действиями, связанными с делением на 0, занимается один из разделов высшей математики — математический анализ. В нем используется такое понятие, как бесконечность (бесконечно большая величина). Одно из ее определений — это предел, к которому стремится выражение а/Х при Х, стремящемся к нулю. Здесь а — любое ненулевое действительное число. Если в этом выражении уменьшать значение X, то результат будет увеличиваться, пока, в конце концов, не подойдет к бесконечности. С этой величиной можно делать различные математические действия:

  • прибавлять любые числа;
  • вычитать числа, не равные бесконечности;
  • умножать на значения, не равные 0 и бесконечности;
  • возводить в степень, не равную 0.

В результате получится бесконечность. Следующие выражения дают в результате полную неопределенность:

  • бесконечность минус бесконечность;
  • бесконечность умножить на 0;
  • бесконечность разделить на бесконечность;
  • ноль разделить на ноль;
  • ноль умножить на бесконечность;
  • ноль в нулевой степени;
  • бесконечность в степени ноль;
  • единица в степени бесконечность.

Задачи с неопределенностями возникают при вычислении пределов функций, которые заданы формулами, дающими подобные выражения при подстановке предельных значений аргумента. Математики говорят, что результатом таких уравнений будет бесконечное множество чисел. Обычно для их решения используют различные схемы и алгоритмы. Это называется раскрытием неопределенности.

Над нулем можно проделывать все арифметические операции. Единственное ограничение — он не может быть делителем для любого действительного числа. Результатом деления ненулевого числа на ноль в высшей математике считается бесконечность, а деление нуля на ноль дает неопределенность. В арифметике подобные действия считаются невозможными и бессмысленными.

Деление на ноль. Увлекательная математика

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль – яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность – это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12_4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6_0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление – это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

  • бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
  • единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
  • некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Читайте также:  Что такое информация: классификация, способы получения, носители

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь – французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

В настоящее время метод Лопиталя с успехом применяется при решении неопределенностей типа 0:0 или ∞:∞.

Умножение и его свойства. Умножение на 0 и 1

Урок 20. Математика 4 класс

Конспект урока “Умножение и его свойства. Умножение на 0 и 1”

Что такое умножение? Это – умное сложение.

Ой, привет, ребята!

Вы, конечно, уже поняли, что сегодня мы с вами будем говорить об умножении. Мы повторим свойства умножения. А ещё мы будем умножать числа на один и на нуль.

Посмотрите на эти кубики.

Как подсчитать, сколько их? Семь кубиков, ещё семь, и ещё семь. А всего двадцать один. Сейчас количество кубиков я находила действием сложения. Но ведь вы помните, что сложение одинаковых чисел можно заменить умножением, где первый множитель показывает, какие числа складываем, а второй множитель показывает их количество. Мы по семь взяли три раза, то есть семь умножили на три.

Но теперь посмотрите.

Наша фигура перевернулась, и для того, чтобы узнать, сколько всего кубиков, мы будем брать не по семь три раза, а три семь раз. То есть, три умножать на семь. Ответ при этом не изменился.

Это и есть переместительное свойство умножения, которое гласит: От перестановки множителей произведение не изменяется.

А теперь я предлагаю вам решить вот такой пример:

79 · 2 · 5 = 79 · (2 · 5) = 790

Конечно, те, кто хорошо владеет навыком устного счёта, смогут решить устно этот пример. Но ведь можно сделать так, что его сможет решить и третьеклассник, а может быть даже второклассник. И поможет нам в этом сочетательное свойство умножения. В нём говорится, что два соседних множителя можно заменить их произведением.

Вот мы это и сделаем. Дважды пять – десять. И семьдесят девять умножить на десять – семьсот девяносто.

А если, например, надо было бы тридцать шесть умножить на двадцать пять и на четыре? Тут уж пришлось бы повозиться. Вряд ли вы устно смогли бы решить этот пример, если бы не сочетательное свойство умножения. Мы просто перемножим числа двадцать пять и четыре. Получится сто. А потом тридцать шесть умножаем на сто, получается три тысячи шестьсот.

Ну а теперь попробуем умножить сумму чисел семь, три, два и пять на восемь.

(7 + 3 + 2 + 5) · 8 = 7 · 8 + 3 · 8 + 2 · 8 + 5 · 8 = 56 + 24 + 16 + 40 = 136

Складываем числа в скобках, получается семнадцать. Семнадцать надо умножить на восемь. Стоп! Здесь можно воспользоваться распределительным свойством умножения: при умножении суммы на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

Воспользуемся этим свойством. Семью восемь – пятьдесят шесть, трижды восемь – двадцать четыре, дважды восемь – шестнадцать, и пятью восемь – сорок. Складываю эти числа. Получилось сто тридцать шесть.

Этим свойством удобно пользоваться при умножении многозначного числа на однозначное. Например, захотела я умножить пятьсот девяносто семь на шесть.

597 · 6 = (500 + 90 + 7) · 6 = 500 · 6 + 90 · 6 + 7 · 6 = 3000 + 540 + 42 = 3582

Раскладываю трёхзначное число на сумму разрядных слагаемых, умножаю на шесть каждое из них, складываю результаты.

Ура! Пример решён! И без особых трудностей.

Видите, ребята, насколько легче и быстрее можно выполнять умножение, если знаешь его свойства и умеешь ими пользоваться.

А теперь давайте вспомним приёмы умножения на один и на нуль.

Что происходит с числом, если его умножают на один? Это значит, что число берут один раз. И в результате получается то же самое число.

Семью один – семь, тридцать четыре умножить на один – тридцать четыре, один умножить на семь миллионов восемьсот сорок две тысячи триста пятнадцать – получаются те же семь миллионов восемьсот сорок две тысячи триста пятнадцать. Даже если дробное число умножить на один, получится то же самое дробное число.

Ну а что происходит с числом, если его умножить на нуль? Какое бы число мы ни умножили на нуль, в ответе получится нуль.

Вот, ребята, мы с вами и вспомнили три свойства умножения и приёмы умножения на один и нуль. И перед тем, как попрощаться, хочу ещё раз напомнить вам, о чём мы сегодня говорили.

* От перестановки множителей произведение не изменяется.

* Два соседних множителя можно заменить их произведением.

* При умножении суммы на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить.

* Если один из множителей равен одному, то произведение равно другому множителю.

* Если один из множителей равен нулю, то произведение равно нулю.

Помните эти правила, друзья. До свидания! До новых встреч.

Уроки математики: почему нельзя делить на ноль

Очень часто многие задаются вопросом, почему же нельзя использовать деление на ноль? В этой статье мы очень подробно расскажем о том, откуда появилось это правило, а также о том, какие действия можно выполнять с нолем.

Ноль можно назвать одной из самых интересных цифр. У этой цифры нет значения, она означает пустоту в прямом смысле слова. Однако, если ноль поставить рядом с какой-либо цифрой, то значение этой цифры станет больше в несколько раз.

Число очень загадочно само по себе. Его использовал еще древний народ майя. У майя ноль означал «начало», а отсчет календарных дней также начинался с нуля.

Очень интересным фактом является то, что знак ноля и знак неопределенности у них были похожи. Этим майя хотели показать, что ноль является таким же тождественным знаком, как и неопределенность. В Европе же обозначение нуля появилось сравнительно недавно.

Также многим известен запрет, связанный с нолем. Любой человек скажет, что на ноль нельзя делить. Это говорят учителя в школе, а дети обычно верят им на слово. Обычно детям либо просто не интересно это знать, либо они знают, что будет, если, услышав важный запрет, сразу же спросить «А почему нельзя делить на ноль?». Но когда становишься старше, то просыпается интерес, и хочется побольше узнать о причинах такого запрета. Однако существует разумное доказательство.

Действия с нулем

Для начала необходимо определить, какие действия с нулем можно выполнять. Существует несколько видов действий:

  • Сложение;
  • Умножение;
  • Вычитание;
  • Деление (ноля на число);
  • Возведение в степень.

При умножении и делении все обстоит немного иначе. Если умножить любое число на ноль, то и произведение тоже станет нулевым.

Запишем это как сложение:

Всего складываемых нолей пять, вот и получается, что

Попробуем один умножить на ноль. Результат также будет нулевым.

Ноль также можно разделить на любое другое число, не равное ему. В этом случае получится дробь, значение которой также будет нулевым. Это же правило действует и для отрицательных чисел. Если ноль делить на отрицательное число, то получится ноль.

Также можно возвести любое число в нулевую степень. В таком случае получится 1. При этом важно помнить, что выражение «ноль в нулевой степени» абсолютно бессмысленно. Если попытаться возвести ноль в любую степень, то получится ноль. Пример:

Пользуемся правилом умножения, получаем 0.

Это интересно! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Так можно ли делить на ноль

Итак, вот мы и подошли к главному вопросу. Можно ли делить на ноль вообще? И почему же нельзя разделить число на ноль при том, что все остальные действия с нулем вполне существуют и применяются? Для ответа на этот вопрос необходимо обратиться к высшей математике.

Начнем вообще с определения понятия, что же такое ноль? Школьные учителя утверждают, что ноль-это ничто. Пустота. То есть когда ты говоришь, что у тебя 0 ручек, это значит, что у тебя совсем нет ручек.

В высшей математике понятие «ноль» более широкое. Оно вовсе не означает пустоту. Здесь ноль называют неопределенностью, так как если провести небольшое исследование, то получается, что при делении ноля на ноль мы можем в результате получить любое другое число, которое не обязательно может быть нолем.

Читайте также:  Связь современной географии с другими науками: тенденция развития и новые направления

Знаете ли вы, что те простые арифметические действия, которые вы изучали в школе не так равноправны между собой? Самыми базовыми действиями являются сложение и умножение.

Для математиков не существует понятий «деление» и «вычитание». Допустим: если от пяти отнять три, то останется два. Так выглядит вычитание. Однако, математики запишут это таким образом:

Таким образом, получается, что неизвестной разностью является некое число, которое нужно прибавить к 3, чтобы получить 5. То есть, не нужно ничего вычитать, нужно просто найти подходящее число. Это правило действует для сложения.

Немного иначе дела обстоят с правилами умножения и деления. Известно, что умножение на ноль приводит к нулевому результату. Например, если 3_0=х, тогда, если перевернуть запись, получится 3*х=0. А число, которое умножалось на 0 даст ноль и в произведении. Получается, что числа, которое бы давало в произведении с нолем какую-либо величину, отличную от ноля, не существует. А значит, деление на ноль бессмысленно, то есть оно подходит к нашему правилу.

Но что будет, если попытаться разделить сам ноль на себя же? Возьмем как х некое неопределенное число. Получается уравнение 0*х=0. Его можно решить.

Если мы попробуем взять вместо х ноль, то мы получим 0_0=0. Казалось бы, логично? Но если мы попробуем вместо х взять любое другое число, например, 1, то в конечном итоге получится 0_0=1. Та же ситуация будет, если взять любое другое число и подставить его в уравнение.

В этом случае получится, что мы можем как множитель взять любое другое число. Итогом будет бесконечное множество разных чисел. Порой все же деление на 0 в высшей математике имеет смысл, но тогда обычно появляется некое условие, благодаря которому мы сможем все-таки выбрать одно подходящее число. Это действие называется «раскрытием неопределенности». В обычной же арифметике деление на ноль снова потеряет свой смысл, так как мы не сможем выбрать из множества какое-то одно число.

Ноль и бесконечность

Бесконечность очень часто можно встретить в высшей математике. Так как школьникам просто не важно знать о том, что существуют еще математические действия с бесконечностью, то и объяснить детям, почему делить на ноль нельзя, учителя как следует не могут.

Основные математические секреты ученики начинают узнавать лишь на первом курсе института. Высшая математика предоставляет большой комплекс задач, которые не имеют решения. Самыми известными задачами являются задачи с бесконечностью. Их можно решить при помощи математического анализа.

К бесконечности также можно применить элементарные математические действия: сложение, умножение на число. Обычно еще применяют вычитание и деление, но в конечном итоге они все равно сводятся к двум простейшим операциям.

Но что будет, если попытаться:

  • Бесконечность умножить на ноль. По идее, если мы попробуем умножить на ноль любое число, то мы получим ноль. Но бесконечностью является неопределенное множество чисел. Так как мы не можем выбрать из этого множества одно число, то выражение ∞*0 не имеет решения и является абсолютно бессмысленным.
  • Ноль делить на бесконечность. Здесь происходит та же история, что и выше. Не можем выбрать одно число, а значит не знаем на что разделить. Выражение не имеет смысла.

Теперь попробуем бесконечность делить на нуль. Казалось бы, должна получиться неопределенность. Но если мы попробуем заменить деление умножением, то получится вполне определенный ответ.

Получается такой математический парадокс.

Ответ, почему нельзя делить на ноль

Мысленный эксперимент, пробуем делить на ноль

Вывод

Итак, теперь нам известно, что ноль подчиняется практически всем операциям, которые производят с обычными числами, кроме одной единственной. На ноль делить нельзя только потому, что в результате получается неопределенность. Также мы узнали, как производить действия с нолем и бесконечностью. Результатом таких действий будет неопределенность.

Это интересно! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством

Почему нельзя делить на ноль, а умножать можно?

Почему нельзя делить на ноль а умножать можно? По возможности, прошу аргументировать ответ на изображении с не помеченным треугольником ниже.

Если провести линии от нуля ко 2 ряду, то весь треугольник поделится на 2 части. Затем выбирается любой другой ряд, к примеру 10.
Точка в которой пересеклись – линия 2 ряда и 10 ряд, является числом обозначающим сколько шариков вмещается в одну поделенную часть, получается 5 шариков.
Но если треугольник поделить на 0 частей, то линия 0 ряда и 10 ряд, пересекаются на нуле, а это значит что в одну поделенную часть вмещается 0 шариков.
10/0=0 ?
Однако, так как умножение является обратным действием деления, то можно сделать все наоборот, 2 части умножить на 5 шариков и линии пересекутся на 10 ряду.
Если же попробовать умножить 0 частей на 5 шариков, то линии относительно друг друга всегда будут строго параллельны и никогда не пересекутся.
5*0=∞ ?

25.04.2019, 20:26

Можно ли бесконечность делить на ноль?
Меня очень удивила гипотеза Римана, согласно которой натуральному ряду может быть поставлена в .

Почему нельзя делить на ноль?
Не знаю, в какой раздел писать, пишу сюда. Приветствую всех. В школьные годы учительница.

Нужно сделать чтобы при делении на ноль, выводило На ноль делить нельзя, введите другое число
Я сделал, на ноль то он не делит, но когда ввожу другие значение, то там тоже выводится Делить на.

Делить на ноль нельзя?
Я в курсе, нельзя. Но это было бы полбеды. Проблема в том, что судя по всему, нельзя делить не.

Как делить умножать и делить матрицы и вектора?
Как умножать и делить матрицы и вектора,а так же как сделать обратную матрицу,потому что через inv.

25.04.2019, 21:10226.04.2019, 09:42 [ТС]326.04.2019, 09:594

Один из крупных математиков, к которому со всего света устремились доказательщики БТФ поставил им такое условие. Пусть 3 студента прочтут и поставят свои визы – тогда и он соблаговозволит посмотреть. (Априори же нельзя отвергать. А вдруг!) Как правило почему-то это все были школьные учителя из поволожья, симпатичные нелепые дядьки)
И находились смельчаки-студенты, и смотрели. Но на странице 5 (17,44. ) обязательно случался ляп. И претендент соглашался и говорил – “Это доказательство 4А, и оно мне самому не очень нравится. Но а меня есть еще доказательство 5Д” и тянулся к портфелю. Студент тут же убегал.

26.04.2019, 09:59
26.04.2019, 14:22 [ТС]5

Любую информацию мне легче воспринимать визуально, вот я картиночками все и заставил)
Формулировал, формулировал да выформулировал:

Деление:
Известен ряд (10) и количество частей, на которое делится этот ряд (4) .
Неизвестно – кол-во шариков, которое вмещается в одну из 4-ёх поделенных частей.

Умножение:
Известно количество частей (4), на которые делится один из рядов и кол-во шариков, которые вмещаются в одну поделенную часть (2.5) .
Неизвестно – ряд, который вмещает в одну из 4-ёх поделенных частей, 2.5 шарика.

Деление:
Известен ряд (10) и количество частей, на которое делится этот ряд (0) .
Неизвестно – кол-во шариков, которое вмещается в одну из 0-ых поделенных частей.

10 / 0 = 0 // В одну из 0-ых поделенных частей вмещается 0 шариков.

Умножение:
Известно количество частей (0), на которые делится один из рядов и кол-во шариков, которые вмещаются в одну поделенную часть (2.5) .
Неизвестно – ряд, который вмещает в одну из 0-ых поделенных частей, 2.5 шарика.

0 * 2.5 = ошибка // Ни в одну из 0-ых поделенных частей ряда не может вмещаться более 0 шариков.

27.04.2019, 18:066
27.04.2019, 19:507
28.04.2019, 09:488
28.04.2019, 10:029
28.04.2019, 10:2010
28.04.2019, 10:2811
28.04.2019, 10:4712
28.04.2019, 10:5213
28.04.2019, 10:5714
28.04.2019, 13:00 [ТС]15

У меня было 2 яблока, затем я сорвал с дерева в три раза больше яблок, чем у меня было, скушал 6 яблок и после этого нашел еще 9 на земле.
2*3-6+9
Уравнение имеет последовательность:
1). 2*3=6 // У меня было 2 яблока, затем я сорвал с дерева в три раза больше яблок, чем у меня было
2). 6-6=0 // Скушал 6 яблок
3). 0+9=9 // Нашел еще 9 на земле.
Ноль обозначает количественную характеристику чего либо, так же как и все остальные числа.

———————————————————————————————————————————————————————-
Возможно, в сообщениях отправленных выше я и допустил какие-то ошибки, но это не значит, что по этому треугольнику невозможно доказать, почему можно или нельзя делить на ноль.
Предложил эту треугольную таблицу, т.к. на ней можно отобразить и сложение, и вычитание, и умножение, и деление, и даже степень.
Мне кажется, что для упрощенного понимания математики, нужны универсальные схемы, на которых можно было бы сразу показать несколько арифметических действий, понятных для не одаренных математическими способностями людей.
Потому что огромное количество разных (визуальных) способов, объясняющих, что такое сложение, вычитание, умножение, деление и степень, может легко сбить с толку.

Ссылка на основную публикацию